Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie.
zbMATH Open document ID: 48.0535.02
DOI: 10.1007/BF01458568
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1922-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158934
review text: Verf. betrachtet den Kettenbruch \[ K(\lambda )= \frac {\;\;\;1\;\;\;|}{|a_1-\lambda } - \frac {\;\;\;b_1^2\;\;\;|}{|a_2-\lambda } - \frac {\;\;\;b_2^2\;\;\;|}{|a_3-\lambda } - \cdots \] mit beliebigen reellen \(a_\nu \) und \(b_\nu \) (\(b_\nu \neq 0 \)) und komplexem \(\lambda \) und fragt nach Konvergenzbedingungen für diesen Kettenbruch. Indem er einen ähnlichen Standpunkt wie in seiner gemeinsam mit \(O\). Toeplitz im J. für Math. 144, 212 (F. d. M. 45, 516 (JFM 45.0516.*), 1914-15) veröffentlichten Abhandlung einnimmt, bringt er die Theorie des Kettenbruches \(K(\lambda )\) mit unendlichen Systemen linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten in Zusammenhang. Bezeichnet \(-\dfrac {k_n(\lambda )}{\pi_{n+1}(\lambda )}\) den \(n\)-ten Näherungsbruch von \(K(\lambda )\), so bestimmt Verf., indem er \(\pi _1=1\) setzt, die übrigen \(\pi _n\) und \(k_n\) aus den Gleichungssystemen \[ \begin{matrix}\l\\ \left\{ \begin{matrix}\r&\l\\ &(a_1-\lambda )\pi _1 -b_1\pi _2 =0 \\ -&b_{p-1}\pi _{p-1}+ (a_p-\lambda )\pi _p -b_p\pi _{p+1} =0 \qquad\quad (p=2,3,\ldots ),\\ \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{ \begin{matrix}\l\\ -b_1k_1=1,\;\;(a_2-\lambda )k_1 -b_2k_2 =0 \\ -b_pk_{p-1}+ (a_{p+1}-\lambda )k_p -b_{p+1}k_{p+1} =0 \quad\quad (p=2,3,\ldots ).\\ \end{matrix}\right. \end{matrix} \] Es gelingt nun aber auch -- und das ist der Fortschritt gegenüber der oben zitierten Arbeit von Hellinger und Toeplitz -- den ``verallgemeinerten'' \(n\)-ten Näherungsbruch \[ \begin{multlined} u^{(n)}(\lambda ;h) =-\frac {k_n(\lambda )- hk_{n-1}(\lambda )} {\pi _{n+1}(\lambda )- h\pi _n(\lambda )}\\ = \frac {\;\;\;1\;\;\;|}{|a_1-\lambda } - \frac {\;\;\;b_1^2\;\;\;|}{|a_2-\lambda } -\cdots - \frac {\;\;\;\;\;b_{n-1}^2\;\;\;\;\;\;|}{|a_n-\lambda -hb_n}, \end{multlined} \] unter \(h\) einen reellen Parameter verstanden, durch ein endliches lineares Gleichungssystem zu charakterisieren. Betrachtet man das System von \(n +1\) inhomogenen Gleichungen \[ \left \{ \begin{matrix}\l&\l&\l&\l\\ &(…
zbMATH DE Number: 2601853
Wikidata QID: Q107148986
author: E. D. Hellinger
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2601853