De l'intégration des équations \(s=f(x,y,z,p,q)\) par la méthode de Darboux.
type: Item
instance of: scholarly article
title: De l'intégration des équations \(s=f(x,y,z,p,q)\) par la méthode de Darboux.
zbMATH Open document ID: 48.0545.02
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 3ième Série
publication date: 1921-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72868
review text: Der Verf. stützt sich auf Untersuchungen, die Goursat (F. d. M. 30, 325 (JFM 30.0325.*), 1899) und Gau (F. d. M. 42, 389 (JFM 42.0389.*), 1911) über Gleichungen von der Form \(s = f(x, y, z, p, q)\) angestellt haben, insbesondere verwertet er die von Gau angegebene Einteilung dieser Gleichungen in zwei Klassen in bezug auf die Charakteristiken \(x = \text{konst}\). Der ersten Klasse gehören alle die Gleichungen an, bei denen die Gleichung \[ A_y + qA_z + fA_p + Af_p =0 \] durch eine Funktion \(A\) von \(x\), \(y\), \(z\), \(p\) befriedigt werden kann, der zweiten alle übrigen. In Kap. I, S. 113-134, bestimmt der Verf. alle die Gleichungen \(s + f = 0\), die für die Schar der Charakteristiken \(x = \text{konst.}\) eine Invariante 2. Ordnung im Sinne von Darboux besitzen. Es stellt sich heraus, daß, wenn \(f\) nicht linear in \(q\) ist, stets auch zu der zweiten Schar \(y = \text{konst.}\) eine Invariante 2. Ordnung gehört, daß man also da nur die schon von Goursat aufgestellten Gleichungen findet. Ist \(f\) linear in \(q\), so kann man die Gleichung auf die andere \(s = \dfrac\partial{\partial x} f (x, y, z)\) zurückführen, die ein Zwischenintegral besitzt. Demnach braucht man nur die Gleichungen zu studieren, die eine Invariante \[ u(x, y, z, p_1, \ldots, p_n)\qquad \left(p_i=\frac{\partial^iz}{\partial x^i}\right) \] von der Ordnung \(n > 1\) besitzen. In Kap. II, S. 135-149 wird dieses Problem besprochen, das nach Gau mit der Frage nach den Gleichungen \[ p_{n-h} +\psi(x, y, z, p_1,\ldots, p_{n-h-1}) = 0 \] zusammenhängt, die mit \(s = f\) in Involution liegen. Insbesondere wird gezeigt, daß die von Gau angegebenen notwendigen Bedingungen für das Vorhandensein einer involutorischen Gleichung: \[ p_n + \psi(x,y, z, p_1,\ldots, p_{n-1}) = 0\quad (n > 2) \] durch einfachere, allerdings ebenfalls nur notwendige Bedingungen ersetzt werden können. In Kap. III, S. 150-164 wird bewiesen, daß unter gewissen Voraussetzungen zu \(s = f\) niemals zwei involutorische Gleichung…
zbMATH DE Number: 2601879
author: René Gosse
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2038811584
DOI: 10.5802/AFST.317
description: scientific article; zbMATH DE number 2601879