Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. I. Teil. Sätze ersten Grades. (Über die Axiomensysteme von der kleinsten Satzzahl und den Begriff des idealen Elementes.)
type: Item
instance of: scholarly article
title: Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. I. Teil. Sätze ersten Grades. (Über die Axiomensysteme von der kleinsten Satzzahl und den Begriff des idealen Elementes.)
zbMATH Open document ID: 48.1117.05
DOI: 10.1007/BF01459067
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1922-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158971
review text: Die Untersuchung, deren erster Teil diese Abhandlung ist, gehört dem Gebiet der mathematischen Logik an und bildet zugleich ein elementares Kapitel der Axiomatik. Die Fragestellung knüpft an die traditionelle Lehre von den hypothetischen Schlüssen an. In dem vorliegenden ersten Teil handelt es sich ausschließlich um Sätze von der Form \[ \begin{gathered} a \rightarrow b\\ (\text{``wenn}\;a,\;\text{so}\;b\text{''}), \end{gathered} \] auf welche der Kettenschluß \[ \begin{matrix} a \rightarrow b\\ b \rightarrow c\\ \noalign{\vskip-1.0ex} \hrulefill\\ \noalign{\vskip-0.4ex} a \rightarrow c \end{matrix} \] anwendbar ist. Dabei kommt es übrigens auf die logische Deutung nicht an; es genügt, daß man eine mit ``\(\to\)'' bezeichnete \textit{transitive Relation} zwischen zwei Elementen hat (und zwar sollen es zwei voneinander verschiedene Elemente sein). Wird für eine endliche Gesamtheit von Elementen \[ a,\, b,\, c,\,\ldots,\, k \] eine Reihe von Sätzen der Form \[ u\rightarrow v \] als gültig angenommen, so können aus diesem ``Satz-System'' durch Anwendung des Kettenschlusses weitere Sätze erhalten werden. Durch wiederholte Anwendung gelangt man zu einem ``abgeschlossenen'' Satzsystem, das sich durch den Kettenschluß nicht mehr erweitern läßt. Der umgekehrte Prozeß, d. h. das sukzessive Weglassen von Sätzen, die aus den übrigen erschließbar sind, führt zu einem System von unabhängigen Sätzen, welche als ``Axiome'' für das abgeschlossene Satzsystem angesehen werden können. Dieser Rückgang zu einem System von unabhängigen Axiomen ist nun im allgemeinen nicht eindeutig, d. h. zu einem abgeschlossenen Satzsystem gehören im allgemeinen verschiedene Axiomensysteme. Jedoch wird folgender Eindeutigkeits-Satz bewiesen: Zu einem abgeschlossenen Satzsystem können nur dann verschiedene Systeme von unabhängigen Axiomen gehören, wenn für mindestens ein Paar von Elementen \(a\), \(b\) die Sätze \[ a \rightarrow b\quad \text{und}\quad b \rightarrow a \] beide in dem Satzsystem vorkommen.…
zbMATH DE Number: 2604243
author: Paul Hertz
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2604272341
description: scientific article; zbMATH DE number 2604243