Über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion äquivalent sind.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion äquivalent sind.
zbMATH Open document ID: 48.1214.01
DOI: 10.1007/BF01449611
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1922-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158913
review text: Durch die für \(\text{Re}(s) > 1\) absolut konvergente Dirichletsche Reihe \(f(s)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{\lambda_n^s}\) werde eine, bis auf einen Pol erster Ordnung an der Stelle \(s = 1\), überall reguläre analytische Funktion \(f(s)\) von endlichem Geschlecht definiert. Es sei ferner \(g(s)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{b_n}{l_n^s}\) eine zweite für \(\text{Re}(s) > 1\) absolut konvergente Dirichletsche Reihe, und es bestehe zwischen \(f(s)\) und \(g(s)\) die Funktionalgleichung \[ \pi^{-\frac s2}\Gamma\left(\tfrac s2\right)f(s)=\pi^{-\frac{1-s}2}\Gamma\left(\tfrac{1-s}2\right)g(1-s). \tag{\text{I}} \] Dann lassen sich aus (I) nacheinander die folgenden Beziehungen herleiten. Eine verallgemeinerte \(\vartheta\)-Relation: \[ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{-\pi\lambda_n^2\tau}= \frac1{\sqrt{\tau}} \sum_{n=-\infty}^\infty b_n e^{-\frac{\pi l_n^2}{\tau}}, \tag{\text{II}} \] \[ \sum_{n=-\infty}^\infty b_n e^{-\pi\lambda_n^2\tau}= \frac1{\sqrt{\tau}}\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{-\frac{\pi \lambda_n^2}{\tau}}, \tag{\text{II}\('\)} \] wobei \[ \begin{gathered} a_{-n}=a_n,\quad b_{-n}=b_n,\quad \lambda_{-n}=-\lambda_n,\quad l_{-n}=-l_n,\quad \lambda_0=l_0=0,\\ a_0=-2f(0),\quad b_0=-2g(0) \end{gathered} \] gesetzt ist. Eine Partialbruchzerlegung: \[ a_0+2\sum_{n=1}^\infty a_ne^{-2\pi\lambda_n z}= \frac{b_0}{\pi z}+\frac{2z}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{z^2+l_n^2}, \tag{\text{III}} \] \[ b_0+2\sum_{n=1}^\infty b_ne^{-2\pi l_n z}= \frac{a_0}{\pi z}+\frac{2z}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{z^2+\lambda_n^2}. \tag{\text{III}\('\)} \] Eine Entwicklung in eine cosinus-Reihe für den Fall, daß alle \(a_n\) und \(b_n\) reell sind: \[ \sum_{n=1}^m b_n(y-l_n)=\frac12(a_0y^2-b_0y)\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{\lambda_n^2}(\cos2\pi \lambda_n y-1), \quad l_m\leq y\leq l_{m+1}\tag{\text{IV}} \] \[ \sum_{n=1}^m a_n(y-\lambda_n)=\frac12(b_0y^2-a_0y)\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{l_n^2}(\cos2\pi l_n y-1), \quad \lambda_m\leq y\leq \lambda_{m+1}. \tag{\text{IV…
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
zbMATH DE Number: 2604554
zbMATH Keywords: functional equation
zbMATH Keywords: Riemann zeta-function
author: Hans Hamburger
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4240206529
description: scientific article; zbMATH DE number 2604554