Über einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion äquivalent sind.
Durch die für \(\text{Re}(s) > 1\) absolut konvergente Dirichletsche Reihe \(f(s)=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{\lambda_n^s}\) werde eine, bis auf einen Pol erster Ordnung an der Stelle \(s = 1\), überall reguläre analytische Funktion \(f(s)\) von endlichem Geschlecht definiert. Es sei ferner \(g(s)=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{b_n}{l_n^s}\) eine zweite für \(\text{Re}(s) > 1\) absolut konvergente Dirichletsche Reihe, und es bestehe zwischen \(f(s)\) und \(g(s)\) die Funktionalgleichung \[ \pi^{-\frac s2}\Gamma\left(\tfrac s2\right)f(s)=\pi^{-\frac{1-s}2}\Gamma\left(\tfrac{1-s}2\right)g(1-s). \tag{\text{I}} \] Dann lassen sich aus (I) nacheinander die folgenden Beziehungen herleiten. Eine verallgemeinerte \(\vartheta\)-Relation: \[ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{-\pi\lambda_n^2\tau}= \frac1{\sqrt{\tau}} \sum_{n=-\infty}^\infty b_n e^{-\frac{\pi l_n^2}{\tau}}, \tag{\text{II}} \] \[ \sum_{n=-\infty}^\infty b_n e^{-\pi\lambda_n^2\tau}= \frac1{\sqrt{\tau}}\sum_{n=-\infty}^\infty a_n e^{-\frac{\pi \lambda_n^2}{\tau}}, \tag{\text{II}\('\)} \] wobei \[ \begin{gathered} a_{-n}=a_n,\quad b_{-n}=b_n,\quad \lambda_{-n}=-\lambda_n,\quad l_{-n}=-l_n,\quad \lambda_0=l_0=0,\\ a_0=-2f(0),\quad b_0=-2g(0) \end{gathered} \] gesetzt ist. Eine Partialbruchzerlegung: \[ a_0+2\sum_{n=1}^\infty a_ne^{-2\pi\lambda_n z}= \frac{b_0}{\pi z}+\frac{2z}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{z^2+l_n^2}, \tag{\text{III}} \] \[ b_0+2\sum_{n=1}^\infty b_ne^{-2\pi l_n z}= \frac{a_0}{\pi z}+\frac{2z}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{z^2+\lambda_n^2}. \tag{\text{III}\('\)} \] Eine Entwicklung in eine cosinus-Reihe für den Fall, daß alle \(a_n\) und \(b_n\) reell sind: \[ \sum_{n=1}^m b_n(y-l_n)=\frac12(a_0y^2-b_0y)\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{\lambda_n^2}(\cos2\pi \lambda_n y-1), \quad l_m\leq y\leq l_{m+1}\tag{\text{IV}} \] \[ \sum_{n=1}^m a_n(y-\lambda_n)=\frac12(b_0y^2-a_0y)\frac{1}{2\pi^2}\sum_{n=1}^\infty\frac{b_n}{l_n^2}(\cos2\pi l_n y-1), \quad \lambda_m\leq y\leq \lambda_{m+1}. \tag{\text{IV}\('\)} \] Endlich eine Verallgemeinerung der Poissonschen Summenformel: Es sei \(\Phi(z)\) eine im Streifen \(-\delta<x<\delta\) reguläre analytische Funktion, deren infinitäres Verhalten im Streifen noch weiteren einschränkenden Bedingungen unterworfen ist; dann ist \[ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n\Phi(i\lambda_n)= \sum_{n=-\infty}^\infty b_n\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi il_ny}\Phi(iy)\,dy, \tag{\text{V}} \] \[ \sum_{n=-\infty}^\infty b_n\Phi(il_n)= \sum_{n=-\infty}^\infty a_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-2\pi i\lambda_ny}\varPhi(iy)\,dy.\tag{\text{V}\('\)} \] Ist \(\varphi(u)\) eine reelle Funktion und \(\Phi(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(u)e^{zu}\,du\) eine für \(-\delta<x<\delta\) reguläre analytische Funktion, die auch alle weiteren Bedingungen erfüllt, so folgen aus (V) und (V\('\)) die weiteren Beziehungen: \[ \sum_{n=-\infty}^\infty a_n\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u)e^{i\lambda_n u}\,du=2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty b_n\varphi(2\pi l_n), \tag{\(^*\)\text{V}\('\)} \] \[ \sum_{n=-\infty}^\infty b_n\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(u)e^{il_n u}\,du=2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\varphi(2\pi \lambda_n). \tag{\(^*\)\text{V}} \] Aus der Beziehung (IV) läßt sich für den Fall ganzzahliger \(\lambda_n\) und \(l_n\) unmittelbar das Hauptergebnis der 1. Mitteilung des Verf. ``Über die Riemannsche Funktionalgleichung der \(\zeta\)-Funktion'' [Math. Z. 10, 240--254 (1921; JFM 48.1210.03)] ablesen, so daß diese Untersuchung einen neuen Beweis dieses Satzes enthält. Die zehn Beziehungen (II), (II\('\)), (III), (III\('\)), (IV), (IV\('\)), (V), (V\('\)), (\(^*\)V), (\(^*\)V\('\)) folgen aber nun nicht nur sämtlich aus (I), sondern es gilt auch umgekehrt der Satz: Sind die Reihen \(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{|a_n|}{\lambda_n^2}\), \(\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{|b_n|}{l_n^2}\) beide konvergent, und gilt eine einzige der zehn Beziehungen (II) bis (\(^*\)V\('\)), so gelten auch die neun übrigen. Außerdem sind die durch die Dirichletschen Reihen definierten Funktionen \(f(s)\) und \(g(s)\) über die ganze Ebene fortsetzbar, und zwischen ihnen besteht die Funktionalgleichung (I). Zum Schluß wird eine Anwendung auf die Epsteinschen \(\zeta\)-Funktionen angegeben.
scientific article; zbMATH DE number 2604554