Sur les distances des points des ensembles de mesure positive.
Nach Sierpinski (Batt. G. 55 [(3) 8], 272, 1917 und Fundamente Mathematicae 1, 116; Ref. vgl. F. d. M. d. Bd. IV) kann man immer in zwei meßbaren Mengen \(E_1, E_2\) von positivem Maß\ zwei Punkte \(a_1\) und \(a_2\) finden, deren Entfernung rational ist. Der Verf. beweist nun hier, daß\ in jeder meßbaren Menge \(E\) von positivem Maß\ unendlich viele Punkte vorhanden sind, deren gegenseitige Entfernungen sämtlich rational sind. Und ferner: Bezeichnet man als ``Menge der Entfernungen zweier Mengen \(A\) und \(B\)'' die Menge aller Entfernungszahlen, die man erhält, wenn der eine Punkt in \(A,\) der andere in \(B\) liegt; und als ``Menge der Entfernungen einer Menge \(A\)'' dasselbe, wenn \(A\) und \(B\) zusammenfallen. Dann wird bewiesen, daß\ die ``Menge der Entfernungen'' zweier Mengen \(E_1, E_2\) (bzw. einer Menge \(E_1)\) von positivem daß\ ein ganzes Intervall enthält. Schließlich wird noch gezeigt: Ist \(E\) eine aus unendlich vielen Punkten bestehende meßbare Menge, so gibt es in \(E\) eine Abzählbare Teilmenge \(P,\) deren Punkte gegenseitig rationale Entfernungen haben, derart, daß\ \(E,\) abgesehen von einer Nullmenge, in \(P'\) enthalten ist.
scientific article; zbMATH DE number 2606076