Über eine Interpolationsformel von de la Vallée Poussin.
Die allgemeinen Sätze üben Interpolation von Hahn (Math. Zeitschr. 1, 115; F. d. M. 46, 426 (JFM 46.0426.*),1918) werden angewendet auf die von de la Vallée Pouasin (Belg. Ball. Sciences 1908, 319; F. d. M. 39, 331 (JFM 39.0331.*)) aufgestellte Interpolationsformel mit den Näherungsfunktionen \[ (1)\quad P^{(n)} (x;f) = \frac{\sin nx}n \sum_i \frac{(- 1)^i}{x-x_i^{(n)}} f\left(x_i^{(n)}\right) \] und es wird so ein neuer Beweis für die schon von de la Vallée Poussin nachgewiesene Tatsache gegeben, daß\ (1) für jede stetige Funktion \(f (x)\) in jedem unkt, in dessen Umgebung \(f (x)\) von beschränkter Schwankung ist, konvergiert. Zugleich ergibt sich, daß\ nicht für jede stetige Funktion \(f (x)\) Konvergenz stattfindet. Aus (1) wird sodann eine andere Interpolationsformel abgeleitet, die den Fejérschen Mitteln der Fourierschen Reihen in derselben Weise entspricht, wie (1) den Partialsummen der Fourierschen Reihen, nämlich: \[ (2)\quad F^{(n)} (x;f) = \frac{\sin^2 nx}{n^2} \sum_i \frac {1}{\left(x-x_1^{(n)}\right)^2} f\left(x_1^{(n)}\right). \] Mittels der Hahnschen Sätze wird gezeigt, daß\ (2) für alle stetigen Funktionen \(f (x)\) konvergiert. (IV 3 D.)
scientific article; zbMATH DE number 2606324