Sur le problème de Bäcklund et les systèmes de deux équations de Pfaff.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur le problème de Bäcklund et les systèmes de deux équations de Pfaff.
zbMATH Open document ID: 47.0437.02
author: E. Goursat
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 3ième Série
publication date: 1920-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72865
review text: Die Theorie der Bäcklundschen Transformationen hängt aufs engste zusammen mit der der Systeme von zwei Pfaffschen Gleichungen in 6 Veränderlichen (vgl. F. d. M. 46, 723 (JFM 46.0723.*), 1916- 18). Der Verf. entwickelt daher zunächst (S. 66-97) die Theorie dieser Systeme, die im wesentlichen allerdings schon von Duport gegeben ist (F. d. M. 28, 301 (JFM 28.0301.*), 1897), aber er macht das viel einfacher, weil er sich auf die Untersuchungen von Cartan stützen kann (F. d. M. 32, 351 (JFM 32.0351.*), 1901). Es ergibt sich, daß\ ein solches System im allgemeinen und zwar auf zwei verschiedene Weisen die reduzierte Form; \[ (1)\quad dz - pdx - qdy = 0, \;dq - udp - adx - bdy = 0 \] erhalten kann, wo \(a, b\) Funktionen von \(x, y, z, p, q, u\) sind, wo der Ausdruck: \(a_u + b - ub_u\) nicht verschwindet und wo jedes der beiden Systeme von vier Pfaffschen Gleichungen, denen die singulären Elemente (im Sinne Cartans) des ursprünglichen Systems genügen, höchstens zwei integrable Kombinationen besitzt. Unter den besonderen Fällen, die eintreten können, ohne daß\ die Zahl der Veränderlichen des Systems unter sechs herabgedrückt werden kann (S. 90 f.), erwähne ich nur den, wo das System nur auf eine Art die reduzierte Form (1) erhalten kann. Der Ausdruck \(ub_u - b - a_u\) ist dann null, aber ein gewisser anderer Ausdruck verschwindet nicht. Ebensowenig will ich alle die reduzierten Formen aufzählen, die sich ergeben, wenn die Zahl der Veränderlichen des Systems auf 5 oder auf noch weniger gebracht werden kann (S. 91-97). In allen besonderen Fällen kann die Integration des Pfaffschen Systems vollständig geleistet werden (S. 97-99): im Falle der reduzierten Form (1) aber kommt sie hinaus auf die Integration einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung: \[ F(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0 \] von besonderer Form, die eine Schar von Charakteristiken erster Ordnung hat, der Gleichung nämlich, die aus: \[ r-us-a=0, \;s-ut-b=0 \] durch Elimination von \(u\) entsteht. Man nennt…
zbMATH DE Number: 2606847
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2320004599
DOI: 10.5802/AFST.307
description: scientific article; zbMATH DE number 2606847