Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. VI. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hyperelliptischer Kurven. (Iterationsmethoden).
type: Item
instance of: scholarly article
title: Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. VI. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hyperelliptischer Kurven. (Iterationsmethoden).
zbMATH Open document ID: 47.0925.03
DOI: 10.1007/BF01199400
author: P. Koebe
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1920-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167583
review text: Weitere Fortsetzung der bekannten früheren Untersuchungen des Verf. zum gleichen Problemkreise. Die dort gewonnenen allgemeinen Ergebnisse befriedigen für den Fall symmetrischer Bereiche insofern noch nicht, als der Symmetrie dabei keine Rechnung getragen worden ist; hier werden nun vor allem die reicheren Gesetzmäßigkeiten des symmetrischen Falles mit Hilfe einer besonderen Iterationsmethode, bestehend in fortlaufender Anwendung passender Quadratwurzelausziehungen, herausgearbeitet, und die Resultate dann wieder für beliebige Bereiche verallgemeinert. Zunächst wird die -- keineswegs ohne weiteres sichtbare -- verborgene Symmetrie eines jeden dreifach zusammenhängenden schlichten Bereiches bewiesen (diese Symmetrie erscheint als selbstverständlich eret nach erfolgter Abbildung auf einen entsprechenden, von drei Vollkreisen begrenzten Bereich, deren Möglichkeit es eben zu zeigen gilt). Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lassen sich die Begrenzungskontinuen \(L_1, L_2, L_3\) des Bereiches als geschlossene reguläre analytische Linien annehmen; man lege die Querschnitte \(Q_1 = L_2L_3, Q_2 = L_3L_1,\) und bilde die Überlagerungsfläche \(B^{(\infty)}\) des so gewonnenen einfach zusammenhängenden Bereiches \(B_0\equiv B^{(0)},\) indem man fortlaufend an jede Querschnittseite ein Neuexemplar von \(B^{(0)}\) anheftet; \(B^{(\infty)}\) wird dann durch eine reguläre Funktion \(\zeta =\varphi(z)\) auf den Einheitskreis abgebildet, und diese einunendlichvieldeutige Fundamentalabbildung läßt sich nun topologisch wie gruppentheoretisch genau beherrschen; insbesondere erweist es sich als möglich, den Grundbereich \(B\) eineindeutig konform auf einen von drei getrennten Schlitzen auf der Achse des Reellen gebildeten Bereich \(B'\) abzubilden, und diese Abbildung ist im wesentlichen, d. h. bis auf reelle lineare Transformationen, eindeutig bestimmt. Auf einen solchen Schlitzbereich mit \(m\) Ausschnitten auf der Achse des Reellen läßt sich natürlich jeder \(m\)-fach zusammenhängen…
zbMATH DE Number: 2608780
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3002423506
description: scientific article; zbMATH DE number 2608780