Eine neue Methode zur Lösung der Randwertaufgabe partieller Differentialgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Eine neue Methode zur Lösung der Randwertaufgabe partieller Differentialgleichungen.
zbMATH Open document ID: 46.0736.01
DOI: 10.1007/BF01458207
author: E. Trefftz
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1918-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158792
review text: Der Verf. gibt hier eine neue Methode an, um die erste Randwertaufgabe bei der Gleichung \(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\) durch sukzessive Annäherungen zu lösen. Im ersten Paragraphen wird für nahezu kreisförmige Gebiete die folgende Methode vorgeschlagen. Es sei \(R\) eine geschlossene Kurve, die durch eine Gleichung in Polarkoordinaten \(r=r(\theta)\) dargestellt werden kann, wo \(\left| \frac{dr}{d\theta}\right| \) klein ist. Ferner möge \(K\) ein \(R\) umschließender Kreis sein mit seinem Mittelpunkt im Anfangspunkt. Sind die auf \(R\) vorgeschriebenen Randwerte durch die Funktion \(g(\theta)\) gegeben, so wähle man als erste Approximation diejenige (als \textit{Poisson}sches Integral darstellbare) harmonische Funktion \(g_1(x,y)\), die auf \(K\) die Randwerte \(g(\theta)\) annimmt; \(g_1(x,y)\) unterscheidet sich auf \(R\) von der gesuchten Funktion um den Betrag \[ f_1(\theta)=g(\theta)- \int_0^{2\pi}N(\theta,t)g(t)dt, \] wo \(N(\theta,t)\) in leicht ersichtlicher Weise mittels der Normalableitung der \textit{Green}schen Funktion des Kreises gebildet ist. Nun kann man eine zweite Approximation \(g_2(x,y)\) finden, die aus \(f_1(\theta)\) in ähnlicher Weise wie \(g_1(x,y)\) aus \(g(\theta)\) gebildet ist. Das Verfahren läßt sich unbegrenzt fortsetzen, indem man \(g_{n+1}(x,y)\) aus dem Fehler \[ f_n(\theta)=f_{n-1}(\theta)- \int_0^{2\pi}N(\theta,t)f_{n-1}(t)dt \] der vorangehenden Approximation in derselben Weise konstruiert, wie \(g_1(x,y)\) aus \(g(\theta)\) gebildet wurde. In \S\,2 wird die Konvergenz dieses Verfahrens besprochen. Der Verf. zeigt, daß\ der Fehler für \(n\to\infty\) gegen Null strebt, wenn \(R\) und \(K\) zwei konzentrische Kreise sind Ferner wird für allgemeinere Randkurven die Konvergenzfrage in dem Falle behandelt, daß\ die \textit{Fourier}-Entwicklung von \(g(\theta)\) nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthält. Der Verf. bemerkt, daß\ die Konvergenzfrage mit der rage nach der Entwickelbarkeit wil…
zbMATH DE Number: 2611787
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description: scientific article; zbMATH DE number 2611787