Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins.
zbMATH Open document ID: 46.0278.06
DOI: 10.1007/BF01475864
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1916-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158730
review text: Sind \(\alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<\dots\) unendlich viele reelle Zahlen, die auf einer Geraden markiert sind, und rollt man die Gerade auf einem Kreis des Umfanges 1 auf, so fragt sich, ob die Punkte auf dem Kreis ``überall gleich dicht'' liegen. Ist \(f(x)\) eine im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion der Periode 1, so ist, falls die \(\alpha\) gleich dicht liegen \[ \lim_{n\to\infty} \frac {1}{n}\sum_{h=1}^{n} f(\alpha_h)=\int_0^1 f(x)\,dx. \] Nimmt man für \(f(x)\colon e^{2\pi imx}=e(mx)\), so ergibt sich als notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, daß die \(\alpha\) gleich dicht liegen, die Tatsache, daß für jedes ganze rationale \(m\neq 0\) die Limesgleichung: \[ \sum_{h=1}^n e(m\alpha_h)=o(n) \] erfüllt sein muß. Daraus folgt, daß z. B. \(\xi, 2\xi, 3\xi, \dots, n\xi, \dots\) überall gleich dicht (mod 1) sind, falls \(\xi\) eine irrationale Zahl bedeutet. Diese Sätze und Kriterien lassen ohne weiteres auf einen \(p\)-dimensionalen Raum übertragen. Das Resultat, daß die Punkte \[ (n\xi_1, n\xi_2, \dots, n\xi_p)\;n=1, 2, 3, \dots \] überall dicht mod 1 liegen, falls zwischen den \(\xi\) keine linear ganzzahlige Relation besteht, wird vom Verf. auch für die Verweilszeit eines mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden sich bewegenden Punktes formuliert, sowie in einigen anderen Arten. Ganz entsprechend werden die Resultate, wenn man, statt die \(x_i\) linear von der Zeit \(t\) abhängen zu lassen, setzt \[ x_i=\varphi_i(t)\;(i=1, 2, \dots, p), \] wo die \(\varphi_i(t)\) beliebige Polynome von wenigstens zweitem Grade sind. Nimmt man dagegen statt des kontinuierlichen Parameters \(t\) einen diskreten Parameter \(n\), der die natürlichen Zahlen durchläuft, so entstehen neue Schwierigkeiten. Der Verf. beweist: Ist in einem Polynom \(q\)-ten Grades \[ \varphi(z)=\alpha_qz^q+\alpha_{q-1}z^{q-1}+\cdots\alpha_0 \] mindestens einer der Koeffizienten \(\alpha_q, \alpha_{q-1}, \dots, \alpha_1\) irrational, so gilt die Limesgleichung \[ \sum_{h=0}^n e(\var…
Mathematics Subject Classification ID: 11J71
Mathematics Subject Classification ID: 11K06
zbMATH DE Number: 2610490
Wikidata QID: Q55953818
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2077055049
author: Hermann Weyl
description: scientific article; zbMATH DE number 2610490