Contributions to the theory of the Riemann Zeta-function and the theory of the distribution of primes.
Eine Arbeit von ganz ungewöhnlichem Reichtum des Inhalts! Es ist unmöglich, die Fülle der darin enthaltenen Gedanken in einer kurzen Besprechung anzudeuten. Viele von ihnen sind schon in früheren verstreuten Noten der Verff. ausgesprochen (vgl. die unten gegeben Zitate), von denen nun hier eine zusammenfassende Darstellung gegeben wird. Wir müssen uns mit der Angabe einiger Hauptsachen begnügen. In Abschn. 1 werden mit Hilfe des Cahen-Mellinschen Integrals \[ \frac{1}{2\pi i}\int_{\kappa- i\infty}^{\kappa+i\infty}\Gamma(s)y^{-s}\,ds=e^{-y}\quad (\kappa>0, \text{Re}(y)>0), \] und in Verbindung mit gewissen Reihensätzen ``Tauberscher Art'' die die Verf. früher veröffentlicht haben (s. etwa [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 411--478 (1912; JFM 43.0312.01), Messenger (2) 42, 191--192 (1913; JFM 44.0283.01)]) sehr weitgehende Konvergenzsätze über allgemeine \textit{Dirichlet}sche Reihen bewiesen, die als einfache z. B. den \textit{Primzahlsatz} und viele äquivalente Sätze liefern. In Abschn. 2 wird die Funktion \[ F(y)=\sum(\Lambda(n)-1)e^{-ny}, \quad\text{Re}(y)>0 \] für \(y\to 0\) untersucht. \([\Lambda(n)=\log p\) für \(n=p^m\), sonst 0.] Unter der Annahme der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung wird bewiesen, daß \(F(y)=O(y^{-\frac 12})\) ist, während andrerseits ein \(K>0\) existiert, so daß in jeder Nähe von 0 \[ F(y)<-Ky^{-\frac 12},+Ky^{-\frac 12}<F(y) \] gilt. [Hierin steckt als Korollar ein ähnlicher von \textit{E. Schmidt} herrührender Satz über \(\psi(x)-x\); mit \(\psi(x)=\sum_{n\leqq x} \Lambda(n)\)]. Ähnliche Sätze über die Funktion \[ f(y)=\sum\mu(n)e^{-ny} \] gelingt es noch nicht zu beweisen. 3. Abschn. handelt von der Tschebyscheffschen Vermutung, von der in einem früheren Referat einer Landauschen Arbeit genauer die Rede war. (Vgl. \textit{E. Landau}, Gött. Nachr. 1917, 96--101 (1917; JFM 46.0264.01)].) Im 4. Abschn. wird für \(T\to+\infty\) die asymptotische Abschätzung \[ \int_{-T}^{+T} | \zeta(\frac 12+it)|^2\,dt \sim 2T\log T \] bewiesen, der bisher erst analoge Formeln für die Geraden \(\text{Re}(s)=\beta\gtrless\frac 12\) vorangingen. Der 5. Abschn. bringt Formeln von ähnlichem Charakter, wie die in der vorstehenden Note von \textit{M. Riesz} [Acta Math. 40, 185--190 (1916; JFM 46.0497.03)] aufgestellte. Diese fünf Abschnitte bilden ein erstes Kapitel. Im II. Kap. handelt es sich um die Reihe \[ \sum_\rho e^{\alpha\rho\log(-i\rho)}x^\rho \rho^{-\kappa}, \] in der \(a,x\) und \(\kappa\) reell sind und die Summation sich auf die komplexen Nullstellen \(\rho\) von \(\zeta(s)\) bezieht. \textit{E. Landau} hatte sich [Math. Ann. 71, 548--564 (1912; JFM 43.0332.01)] mit der spezielleren Reihe \(\sum_\rho x^\rho \rho^{-\nu}\) beschäftigt. Sätze, die den von \textit{Landau} bewiesenen ähnlich sind, werden jetzt über die genannte allgemeinere Reihe aufgestellt. Das III. Kap. beschäftigt sich mit den auf der Geraden \(\text{Re}(s)=\frac 12\) gelegenen Nullstellen der \(\zeta\)- Funktion, von denen \textit{G. H. Hardy} unendlich viele nachgewiesen hatte [C. R. 158, 1012--1014 (1914; JFM 45.0716.04)]. Deren Anzahl wird nach unten abgeschätzt mit einer Schärfe, die über alles bisher bekannte weit hinausgeht: die Anzahl derselben, deren Ordinate zwischen 1 und \(T\) liegt, ist für kein positives \(\delta\) gleich \(o(T^{\frac 34-\delta})\). Die Versuche der Verf., das Entsprechende für \(o(T^{1-\delta})\) zu beweisen, haben noch keinen Erfolg gehabt. Das letzte Kapitel endlich enthält eine ausführliche Darstellung der Resultate, die (ohne Beweis) schon von \textit{J. E. Littlewood} [C. R. 158, 1869--1872 (1914)] veröffentlicht waren und über die in JFM 45.0305.01 berichtet worden war.
scientific article; zbMATH DE number 2611109