Contributions to the theory of the Riemann Zeta-function and the theory of the distribution of primes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Contributions to the theory of the Riemann Zeta-function and the theory of the distribution of primes.
zbMATH Open document ID: 46.0498.01
DOI: 10.1007/BF02422942
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Acta Mathematica
publication date: 1917-01-01T00:00:00Z
review text: Eine Arbeit von ganz ungewöhnlichem Reichtum des Inhalts! Es ist unmöglich, die Fülle der darin enthaltenen Gedanken in einer kurzen Besprechung anzudeuten. Viele von ihnen sind schon in früheren verstreuten Noten der Verff. ausgesprochen (vgl. die unten gegeben Zitate), von denen nun hier eine zusammenfassende Darstellung gegeben wird. Wir müssen uns mit der Angabe einiger Hauptsachen begnügen. In Abschn. 1 werden mit Hilfe des Cahen-Mellinschen Integrals \[ \frac{1}{2\pi i}\int_{\kappa- i\infty}^{\kappa+i\infty}\Gamma(s)y^{-s}\,ds=e^{-y}\quad (\kappa>0, \text{Re}(y)>0), \] und in Verbindung mit gewissen Reihensätzen ``Tauberscher Art'' die die Verf. früher veröffentlicht haben (s. etwa [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 411--478 (1912; JFM 43.0312.01), Messenger (2) 42, 191--192 (1913; JFM 44.0283.01)]) sehr weitgehende Konvergenzsätze über allgemeine \textit{Dirichlet}sche Reihen bewiesen, die als einfache z. B. den \textit{Primzahlsatz} und viele äquivalente Sätze liefern. In Abschn. 2 wird die Funktion \[ F(y)=\sum(\Lambda(n)-1)e^{-ny}, \quad\text{Re}(y)>0 \] für \(y\to 0\) untersucht. \([\Lambda(n)=\log p\) für \(n=p^m\), sonst 0.] Unter der Annahme der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung wird bewiesen, daß \(F(y)=O(y^{-\frac 12})\) ist, während andrerseits ein \(K>0\) existiert, so daß in jeder Nähe von 0 \[ F(y)<-Ky^{-\frac 12},+Ky^{-\frac 12}<F(y) \] gilt. [Hierin steckt als Korollar ein ähnlicher von \textit{E. Schmidt} herrührender Satz über \(\psi(x)-x\); mit \(\psi(x)=\sum_{n\leqq x} \Lambda(n)\)]. Ähnliche Sätze über die Funktion \[ f(y)=\sum\mu(n)e^{-ny} \] gelingt es noch nicht zu beweisen. 3. Abschn. handelt von der Tschebyscheffschen Vermutung, von der in einem früheren Referat einer Landauschen Arbeit genauer die Rede war. (Vgl. \textit{E. Landau}, Gött. Nachr. 1917, 96--101 (1917; JFM 46.0264.01)].) Im 4. Abschn. wird für \(T\to+\infty\) die asymptotische Abschätzung \[ \int_{-T}^{+T} | \zeta(\frac 12+it)|^2\,dt \sim 2T\log T \] bewiesen, der bis…
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
Mathematics Subject Classification ID: 11N05
zbMATH DE Number: 2611109
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q55878042
description: scientific article; zbMATH DE number 2611109