Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über zwei Arten von Faktorenfolgen in der Theorie der algebraischen Gleichungen.
zbMATH Open document ID: 45.0176.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1914-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149419
review text: Laguerre hat unendliche Folgen reeller Zahlen (A) \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2,\ldots \) mit folgenden Eigenschaften angegeben: Ist \(a_0+a_1x+\cdots +a_mx^m=0\) eine beliebige algebraische Gleichung mit lauter reellen Wurzeln, so hat die Gleichung \(\alpha_0a_0+\alpha_1a_1x+\cdots + \alpha_mc_mx^m = 0\) ebenfalls nur reelle Wurzeln. Die Folge A wird ``Faktorenfolge erster Art'' genannt. Unter einer ``Faktorenfolge zweiter Art'' verstehen die Verf. eine Folge reellen Zahlen (B) \(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots \) mit der Eigenschaft, daß die Gleichung \(\beta_0b_0+\beta_1b_1x+\cdots + \beta_mb_mx^m = 0\) keine imaginäre Wurzel hat, falls die beliebige Gleichung \(b_0+b_1x+\cdots +b_mx^m = 0\) lauter reelle Wurzeln von gleichem Vorzeichen besitzt. Mit diesen Faktorenfolgen beschäftigen sich die Verf. und geben für sie notwendige und hinreichende Kriterien an; beide Arten von Folgen werden in Zusammenhang mit gewissen zwei Klassen von ganzen transzendenten Funktionen gebracht, deren Untersuchung identisch ist mit der der folgenden. Zunächst werden einige Eigenschaften der Faktorenfolgen entwickelt. Beispielsweise kann man bei einer Faktorenfolge \(\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2\dots \) ein Anfangsstück weglassen; der Rest \(\gamma_{v+1}, \gamma_{v+2}, \dots \) ist dann noch immer eine Faktorenfolge derselben Art. Ferner wird u. a. gezeigt: Hat man zwei Folgen \((\alpha_v)\) und \((\alpha_v^\prime\) erster Art, so ist \((\alpha_v \alpha_v^\prime\) wieder eine Folge der ersten Art. Ist aber \((\beta_v)\) von der zweiten Art, so ist auch \((\alpha_v\beta_v)\) von der zweiten Art, usw. Nun führen die Verf. zwei Typen ganzer Funktionen ein. Typus I: \(\Phi=\alpha_0+\frac{\alpha_1}{1!}x+\frac{\alpha_2}{2!}x^2+\dots \) soll eine ganze Funktion mit lauter reellen Wurzeln gleichen Vorzeichens sein, für die entweder \(\Phi(x)\) oder \(\Phi(- x)\) eine Produktzerlegung I: \(\Phi(x)=\frac{\alpha_r}{r!}x^re^{\gamma x}\prod^{\infty}_{v=1}(1+\gamma_vx)\), besitzt, wobei \(\alpha_…
Mathematics Subject Classification ID: 30C15
Mathematics Subject Classification ID: 26C10
zbMATH DE Number: 2615428
MaRDI profile type: Publication
author: G. Pólya
author: Issai Schur
description: scientific article; zbMATH DE number 2615428