On the analytic number theory of definite quadratic forms. (On lattice points in a multidimensional ellipsoid).
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the analytic number theory of definite quadratic forms. (On lattice points in a multidimensional ellipsoid).
zbMATH Open document ID: 45.0334.09
published in: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften
publication date: 1915-01-01T00:00:00Z
review text: Die Ergebnisse dieser Untersuchungen sind bereits für den Kreis (Form \(u^2+v^2\)) teilweise neu, für die Ellipse (definite Form \(a_{11}u^2+2a_{12}uv+a_{22}v^2\)) bei nicht kommensurablen Koeffizienten ganz neu, für das \(k\)-dimensionale Ellipsoid (definite Form \(\varSigma_{\mu,\nu=1}^ka_{\mu,\nu}u_{\mu}u_{\nu}\)) schon bei ganzzahligen Koeffizienten schärfer als das bisher Bekannte. Und auch für die bekannten Spezialfälle ist die neue Beweismethode viel kürzer als die alten Beweise. Das einfachste Probrlm, das in den Untersuchungen steckt, lautet: Wie viele Gitterpunkte gehören dem Kreis (1) \(u^2+v^2\overset{=}{<}x\) an, d. h. wie viele Paare ganzer Zahlen \(u,v\) erfüllen die Relation (1)? Wenn \(A(x)\) die betreffende Zahl bezeichnet, so ist fast trivial, daß (2) \(A(x)=\pi x+O(\sqrt{x})\) (Fläche des Kreises plus Fehler von der Ordnung des Randes) ist. Und es ist einer der tiefsten Sätze der analytischen Zahlentheorie, daß (3) \(A(x)=\pi x+o(\sqrt{x})\) und sogar (4) \(A(x)=\pi x+O(\root{3}\of{x})\) ist. Es handelt sich jetzt um eine Verallgemeinerung des Gebiets (1) nebst zugehöriger Anzahlfunktion \(A(x)\) nach fünf Richtungen gleichzeitig: 1. Ellipse statt Kreis. 2. \(k\)-dimensionales Ellipsoid statt Ellipse: \(Q(u_1,\dots,u_k)=\varSigma_{\mu,\nu=1}^ka_{\mu,\nu}u_{\mu}u_{\nu} \;(a_{\mu,\nu}=a_{\nu,\mu})\), deren Determinante \(| a_{\mu,\nu}|=D\). An die Stelle von (1) tritt also (5) \(Q(u_1,\dots,u_k)\leqq x\). 3. Die \(a_{\mu,\nu}\) dürfen beliebige reelle Zahlen sein (nicht notwendig ganzzahlig; nur muß \(Q\) definit positiv sein). 4. \(u_1,\dots,u_k\) brauchen nicht alle Gitterpunkte des Gebietes (5) zu durchlaufen, sondern nur diejenigen, welche überdies die Kongruenzen (6) \(u_1\equiv z_1\) (mod. \(M_1\)), \dots, \(u_k\equiv z_k\) (mod. \(M_k\)) erfüllen, wo \(M_1,\dots,M_k\) positive ganze Zahlen und \(z_1,\dots,z_k\) ganze Zahlen sind. \(A(x)\) bedeutet also die Anzahl der Punkte des Ellipsoid (5), die die Kongruenzen (6) erfüllen. 5. Jeder Punkt,…
Mathematics Subject Classification ID: 11P21
zbMATH DE Number: 2616046
zbMATH Keywords: Lattice points in ellipsoids
zbMATH Keywords: exponential sums
MaRDI profile type: Publication
author: Edmund Landau
description: scientific article; zbMATH DE number 2616046