Über die Konvergenz des \textit{Picard}schen Verfahrens der sukzessiven Approxiamtion bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Konvergenz des \textit{Picard}schen Verfahrens der sukzessiven Approxiamtion bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.
zbMATH Open document ID: 45.0467.01
DOI: 10.1007/BF01458145
author: E. Trefftz
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1915-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158693
review text: \textit{Picard} hat gezeigt, daß man eine Differentialgleichung erster Ordnung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) mit der Anfangsbedingung \(y=b\) für \(x=a\) in folgender Weise durch sukzessive Approximation integrieren kann: Bildet man \[ y_{n+1}=b+\int^x_af(x,y_n)dx \] wo die erste Näherung \(y_0\) willkürlich gewählt werden kann, so konvergieren in genügender Nähe des Punktes \(x=a,y=b\) die Funktionen \(y_n\) mit wachsendem \(n\) gegen eine Grenzfunktion, die die Differentialgleichung befriedigt. Voraussetzung der Konvergenz und der Eindeutigkeit des Verfahrens ist dabei, daß \(f(x,y)\) in der Umgebung des Anfangspunktes endlich bleibt und der \textit{Lipschitz}schen Bedingung \[ | f(x,y_1)-f(x,y_2)|<N| y_1-y_2| \] genügt, wo \(N\) eine hinreichend groß zu wählende Konstante bedeutet. -- Was die Konvergenz des Verfahrens angeht, so sind die ursprünglich von \textit{Picard} gegebenen unteren Grenzen für das Intervall von \(x\), in dem das Verfahren konvergiert, von \textit{Lindelöf} u. a. erweitert worden (\textit{Painlevé}, Enz. d. mat. Wissensch. II A 4 a, 198 -200). Eine Ergänzung zu diesen Betrachtungen liefert der folgende Satz, den Verf. in der vorliegenden Arbeit beweist: ``Man führe als unabhägige Variable in der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) die Bogenlänge \(s\) der Integralkurve ein, indem man die Gleichung in der Form \[ \text{(I)}\quad \frac{dx}{ds}=g(x,y),\;\frac{dy}{ds}=h(x,y),\quad (g^2+h^2=1), \] schreibt. Setzt man dann von den reellen Funktionen \(g(x,y)\) und \(h(x,y)\) voraus, daß längs jeder Kurve in der \(xy\)- Ebene die Integrale \[ \text{(IIa)}\quad \int g(x,y)ds\;{\text{und}}\;\int h(x,y)ds \] existieren, so konvergiert das \textit{Picard}sche Verfahren solange, als die \textit{Lipschitz}schen Differenzenquotienten: \[ \text{(IIb)}\quad \left|\frac{g(x_1,y_1)-g(x_2,y_2)}{\sqrt{(x_2- x_1)^2+(y_2=y_1)^2}} \right|\;{\text{und}}\;\left|\frac{h(x_1,y_1)-h(x_2,y_2)}{\sqrt{(x_2- x_1)^2+(y_2=y_1)^2}} \right| \] für eine beliebig kleine, a…
zbMATH DE Number: 2616484
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2025088932
description: scientific article; zbMATH DE number 2616484