Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane.
zbMATH Open document ID: 44.0170.02
publication date: 1913-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/86329
review text: Um die Bestimmung aller primitiven Gruppen von Punkttransformationen mit Erfolg in Angriff nehmen zu können, muß man alle projektiven Gruppen kennen, die nichts Ebenes invariant lassen. \textit{Kowalewski} und seine Schüler haben die letztere Aufgabe für die Räume von 4,5 und 6 Dimensionen gelöst (F. d. M. 30, 1899 (JFM 30.1899.*), 335; 38, 1907, 688; 39, 1908, 209), aber die dabei benutzte Methode ist nicht geeignet, zur allgemeinen Lösung der Aufgabe zu führen. \textit{Cartan} gibt hier die allgemeine Lösung, indem er sich auf die von \textit{Killing} und von ihm selbst herrührende Theorie der einfachen und der halbeinfachen Gruppen stützt. Sein Ergebnis ist folgendes: Jede projektive Gruppe, die nichts Ebenes invariant läßt, ist entweder einfach oder halbeinfach. Zu jeder Zusammensetzung, die eine \(r\)-gliedrige einfache Gruppe vom Range \(l\) haben kann, gehören \(l\) fundamentale lineare homogene Gruppen \(g_1,\dots,g_l\) von dieser Zusammensetzung. Man schreibt die Transformationsgleichungen von \(g_1,\dots,g_l\) nebeneinander in \(l\) verschiedenen Reihen von Veränderlichen \(x_i^\prime,x_i^{\prime\prime},\dots,x_i^{(l)}\) und erhält so eine Gruppe \(g\). Sodann wählt man nach einer bestimmten Regel unter den Veränderlichen jeder Gruppe \(g_k\) eine gewisse aus, die \(x_1^{(k)}\) heißen möge, und transformiert den Ausdruck \[ (x_1^\prime)^{p_1} (x_1^{\prime\prime})^{p_2}\dots (x_1^{(l)})^{p_l}, \] wo \(p_1,\dots,p_l\) ganze Zahlen \(\geqq 0\) bedeuten, vermöge der Gruppe \(g\). Man erhält so eine bestimmte Anzahl linear unabhängiger Ausdrücke, und die Gruppe, die angibt, wie diese Ausdrücke bei \(g\) transformiert werden, ist eine Gruppe von der betreffenden Zusammensetzung, die nichts Ebenes invariant läßt. Auf die angegebene Weise erhält man alle Gruppen dieser Art. Aus diesen Gruppen wiederum erhält man die halbeinfachen Gruppen, die nichts Ebenes invariant lassen, durch eine Art Multiplikation. Sind nämlich z. B. \(g\) in den Veränderlichen \(x_1,\dots,x…
zbMATH DE Number: 2620562
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1140782134
Wikidata QID: Q108470539
DOI: 10.24033/BSMF.916
published in: Bulletin de la Société mathématique de France
author: Élie Cartan
description: scientific article; zbMATH DE number 2620562