Alcuni nuovi problemi di calcolo delle variazioni con applicazioni alla teoria delle equazioni integro-differenziali.
In \S\ 1 wird die Existenz einer nicht identisch verschwindenden Lösung der nichtlinearen Integralgleichung: \[ (1)\qquad f(x_1) = \lambda \int^1_0\int^1_0 K(x_1i,x_2,x_3) f(x_2) f(x_3) dx_2 dx_3 \] bewiesen, wo der Kern \(K(x_1, x_2, x_3)\) symmetrisch in seinen drei Veränderlichen ist: werden mit \(d\) und \(-d\) obere und untere Grenze der Werte von \[ (2)\qquad \int^1_0\int^1_0\int^1_0 K(x_1,x_2,x_3) u(x_1)u(x_2)u(x_3)dx_1\, dx_2\, dx_3 \] bei normiertem \(u\) (d. h. \(\int^1_0 u^2(x) dx = 1\)) bezeichnet, so wird durch Betrachtung einer Minimalfolge \(u_n(x)\) eine normierte Funktion \(F(x)\) gewonnen, für die das Integral (2) gleich \(d\) wird, und diese Funktion genügt der Gleichung (1) für \(\lambda = 1/d\). In \S\ 2 wird die \textit{Euler}sche Gleichung für folgendes Variationsproblem aufgestellt: unter allen Funktionen \(u(x)\), die für \(x = 0\) und \(x =1\) vorgeschriebene Werte annehmen, das Integral \[ (3)\qquad \int^1_0\int^1_0\varphi (u(x_), u'(x), u(X), u'(x,X) dx\, dX \] zu einem Extremum zu machen. In \S\ 3 wird speziell der Fall betrachtet, daß \(\varphi\) in seinen ersten vier Argumenten eine quadratische Form ist; die \textit{Euler}sche Gleichung hat dann die Gestalt: \[ (4)\qquad 0=p(x)u(x)+q(x)u'(x)+r(x)u''(x)+\int^1_0\{\sigma(x,\xi)u(\xi)+\tau(x,\xi)u'(\xi)\}d\xi, \] wo \(p, q, r, \sigma, \tau\) sich aus den Koeffizienten der Form \(\varphi\) zusammensetzen. Ist diese Form positiv definit, so kann die Existenz eines Minimums von (3) durch Betrachtung eines Minimalsatzes direkt eingesehen werden. In \S\ 4 wird die \textit{Euler}sche Gleichung für folgendes Variationsproblem aufgestellt: Unter allen Funktionen \(u(x, y, t)\), die für jeden Wert von \(t\) des Intervalles \((0,1)\) am Rande des Gebietes \(G\) gegebene Werte annehmen, das Integral \[ \begin{multlined} \int^1_0\int^1_0dt\,d\tau \iint_{(G)}\left[\left(\frac{\partial u(t)}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial u(t)}{\partial y}\right)^2+ \left(\frac{\partial u(\tau)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u(\tau)}{\partial y}\right)^2+\right.\\ \left.2\varphi_1(x, y, t, \tau)\;\frac{\partial u(t)}{\partial x}\;\frac{\partial u(\tau)}{\partial x} + 2\varphi_2(x, y, t, \tau)\;\frac{\partial u(t)}{\partial y}\;\frac{\partial u(\tau)}{\partial y}\right]dx\,dy\end{multlined} \] zu einem Minimum zu machen, wo \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) in \(t\) und \(\tau\) symmetrisch sind. Die \textit{Euler}sche Gleichung ist von ähnlicher Gestalt wie (4), enthält aber die partiellen Ableitungen von \(u\) nach \(x\) und \(y\). In \S\ 5 wird wieder durch Betrachtung eines Minimalsatzes die Existenz eines Minimums für dieses Variationsproblem nachgewiesen; doch ergibt dies keinen Existenzbeweis für die zugehörige \textit{Euler}sche Gleichung. In \S\ 6 wird ein Satz folgender Art bewiesen: Sind die über ein gegebenes Gebiet erstreckten Integrale \(\iint\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 dx\, dy\) für alle \(M\) einer Funktionenklasse gleichmäßig geschränkt, so kann man, unter gewissen Bedingungen, aus einer Funktionenklasse eine Folge \(u_n\) herausgreifen, derart, daß die \textit{Fourier}-Konstanten der als Funktionen von \(y\) betrachteten Ausdrücke \(v_n(x,y) = u_n(x,y)-u_n(x,0)\) stetige Funktionen \(v_n(x)\) von \(x\) zur Grenze haben, die selbst die \textit{Fourier}-Konstanten einer nach \(y\) samt ihrem Quadrat integrierbaren Funktion \(V(x,y)\) sind, der noch in ihrem Verhältnisse zur Folge der \(v(x,y)\) gewisse Eigenschaften gliedweiser Integrabilität zukommen.
scientific article; zbMATH DE number 2621608