Alcuni nuovi problemi di calcolo delle variazioni con applicazioni alla teoria delle equazioni integro-differenziali.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Alcuni nuovi problemi di calcolo delle variazioni con applicazioni alla teoria delle equazioni integro-differenziali.
zbMATH Open document ID: 44.0452.02
DOI: 10.1007/BF02419593
published in: Annali di Matematica Pura ed Applicata. III. Serie
publication date: 1913-01-01T00:00:00Z
review text: In \S\ 1 wird die Existenz einer nicht identisch verschwindenden Lösung der nichtlinearen Integralgleichung: \[ (1)\qquad f(x_1) = \lambda \int^1_0\int^1_0 K(x_1i,x_2,x_3) f(x_2) f(x_3) dx_2 dx_3 \] bewiesen, wo der Kern \(K(x_1, x_2, x_3)\) symmetrisch in seinen drei Veränderlichen ist: werden mit \(d\) und \(-d\) obere und untere Grenze der Werte von \[ (2)\qquad \int^1_0\int^1_0\int^1_0 K(x_1,x_2,x_3) u(x_1)u(x_2)u(x_3)dx_1\, dx_2\, dx_3 \] bei normiertem \(u\) (d. h. \(\int^1_0 u^2(x) dx = 1\)) bezeichnet, so wird durch Betrachtung einer Minimalfolge \(u_n(x)\) eine normierte Funktion \(F(x)\) gewonnen, für die das Integral (2) gleich \(d\) wird, und diese Funktion genügt der Gleichung (1) für \(\lambda = 1/d\). In \S\ 2 wird die \textit{Euler}sche Gleichung für folgendes Variationsproblem aufgestellt: unter allen Funktionen \(u(x)\), die für \(x = 0\) und \(x =1\) vorgeschriebene Werte annehmen, das Integral \[ (3)\qquad \int^1_0\int^1_0\varphi (u(x_), u'(x), u(X), u'(x,X) dx\, dX \] zu einem Extremum zu machen. In \S\ 3 wird speziell der Fall betrachtet, daß \(\varphi\) in seinen ersten vier Argumenten eine quadratische Form ist; die \textit{Euler}sche Gleichung hat dann die Gestalt: \[ (4)\qquad 0=p(x)u(x)+q(x)u'(x)+r(x)u''(x)+\int^1_0\{\sigma(x,\xi)u(\xi)+\tau(x,\xi)u'(\xi)\}d\xi, \] wo \(p, q, r, \sigma, \tau\) sich aus den Koeffizienten der Form \(\varphi\) zusammensetzen. Ist diese Form positiv definit, so kann die Existenz eines Minimums von (3) durch Betrachtung eines Minimalsatzes direkt eingesehen werden. In \S\ 4 wird die \textit{Euler}sche Gleichung für folgendes Variationsproblem aufgestellt: Unter allen Funktionen \(u(x, y, t)\), die für jeden Wert von \(t\) des Intervalles \((0,1)\) am Rande des Gebietes \(G\) gegebene Werte annehmen, das Integral \[ \begin{multlined} \int^1_0\int^1_0dt\,d\tau \iint_{(G)}\left[\left(\frac{\partial u(t)}{\partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial u(t)}{\partial y}\right)^2+ \left(\frac{\partial u(\tau)}{\partial x…
zbMATH DE Number: 2621608
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02419593
OpenAlex ID: W1966005406
author: Guido Fubini
description: scientific article; zbMATH DE number 2621608