Über die Bewegungsgruppen der euklidischen Räume. (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Bewegungsgruppen der euklidischen Räume. (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich.
zbMATH Open document ID: 43.0186.01
DOI: 10.1007/BF01456724
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158577
review text: Man vergleiche die Besprechung der voraufgegangenen Abhandlung und Note in F. d. M. 42, 144 (JFM 42.0144.*), 151, 1911, deren Ergebnisse inzwischen \textit{Frobenius} (F. d. M. 42, 152 (JFM 42.0152.*), 153, 1911) einfacher abgeleitet hat. Im folgenden handelt es sich um Bewegungsgruppen mit einem endlichen Fundamentalbereiche \(F\); nach \textit{Frobenius} (l. c.) gibt es nur endlich viele derartige Gruppen. Bewegung \(\mathfrak B\) eines euklidischen \(R_n\) war eine reelle \(S: x_i'=\sum\limits_1^n { i}\,a_{ik}x_k+A_i\) (\(i = 1,\ldots, n\)), die sich durch Nullsetzen der \(A_i\) auf eine orthogonale \(\mathfrak R\), ``den rotativen Teil der Bewegung'', reduziert, während \(x_i' = x_i+A_i\) den ``Translationsteil'' \(\mathfrak T\) darstellt; oder kürzer, es ist \(\mathfrak B=\mathfrak T\mathfrak R\). Die Forderung, daß eine Gruppe \(G\) von \(\mathfrak B\) einen (endlichen oder unendlichen) Fundamentalbereich \(F\) besitzen soll, war gleichbedeutend mit der andern, daß die Gruppe keine infinitesimalen \(S\) enthält. Die \(G\) mit einem unendlichen Fundamentalbereich \(F\) sind zerlegbar, und umgekehrt haben alle zerlegbaren \(G\) mit einem \(F\) einen unendlichen \(F\). Andererseits enthalten die \(G\) mit endlichem \(F\) Translationen \(\mathfrak T\), und diese \(\mathfrak T\) bilden eine ausgezeichnete Untergruppe der \(G\); die Anzahl der unabhängigen \(\mathfrak T\) in \(G\) beträgt \(n\). Zwei Gruppen \(G\), \(G_1\) gelten als verschieden, wenn sie nicht äquivalent sind. Der Beweis, den der Verf. dafür liefert, daß es nur endlich viele verschiedene \(G\) mit endlichem \(F\) gibt, beruht auf Methoden, die \textit{Minkowski}, über \textit{Gauß} und \textit{Dirichlet} hinausgehend, in der Theorie der positiven quadratischen Formen \(F(x_1, x_2,\ldots, x_n)\) entwickelt hat. Zunächst wird die Untergruppe der \(\mathfrak T\) genauer untersucht, auf Grund der Tatsache, daß es stets \(n\) unabhängige solcher \(\mathfrak T\) gibt. Es lassen sich (und zwar in verschie…
zbMATH DE Number: 2624874
author: L. Prof. Bieberbach
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2005774001
Wikidata QID: Q54237834
description: scientific article; zbMATH DE number 2624874