Axiomatische Begründung von \textit{Hensels} \(p\)-adischen Zahlen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Axiomatische Begründung von \textit{Hensels} \(p\)-adischen Zahlen.
zbMATH Open document ID: 43.0269.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149371
review text: Der Verf. stellt zunächst zwei Gruppen von Axiomen auf. Die erste bezieht sich auf die Klassen, in die die Elemente eines vorgelegten Systems zerfallen, und erklärt für dieselben das Zeichen \(<\) bzw. \(>\). Die zweite bezieht sich auf die Elemente einer Klasse und legt die Zeichen \(\prec\) bezw. \(\succ\) (niedriger, höher) für dieselben fest. Die rationalen \(p\)-adischen Zahlen (F. d. M. 39, 269 (JFM 39.0269.*), 1908), \(p\) eine Primzahl, genügen den Axiomen, wenn man alle Elemente \[ \sum^x_{i=n} a_ip^i,\quad a_n \neq0, \quad a_i \quad\text{eine der Zahlen} \quad 0, 1, \ldots, p - 1, \] die zu einem bestimmten \(n\), der Ordnung, gehören, in eine Klasse nimmt und das Größenverhältnis \(<\) und \(>\) der Klassen als das umgekehrte der Ordnungszahlen festsetzt; wenn man ferner für zwei Elemente derselben Klasse \[ \alpha =\sum _{i=n}^\infty a_i p^i, \quad \beta =\sum ^\infty _{i=n}b_ip^i, \] \(\alpha \prec\beta \) setzt, falls sie den kleinsten Index \(i\), für den \(a_i\) von \(b_i\) verschieden ist, \(a_i < b_i\) wird. Durch besonders gewählte Beispiele zeigt der Verf., daß die beiden Gruppen von Axiomen widerspruchsfrei sind. Zwei weitere Gruppen von Axiomen legen die Multiplikation und Addition der \(p\)-adischen Zahlen fest. Es gelingt der Nachweis, daß das Axiomensystem der vier Gruppen vollständig ist. Das heißt, jedes System von Elementen, das denselben genügt, läßt sich isomorph auf die \textit{Hensel}schen \(p\)-adischen Zahlen abbilden.
zbMATH DE Number: 2625238
author: Abraham A. Fraenkel
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3083582865
DOI: 10.1515/CRLL.1912.141.43
description: scientific article; zbMATH DE number 2625238