Contributions to the arithmetic theory of series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Contributions to the arithmetic theory of series.
zbMATH Open document ID: 43.0312.01
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
review text: Es ist nicht ganz leicht, in einem kurzen Referat einen einigermaßen vollständigen Überblick über den Inhalt dieser bedeutenden und reichhaltigen Schrift zu geben. Der Problemenkreis, um den es sich hier handelt, ist schon in drei früheren Arbeiten von den Verfassern in Angriff genommen worden: vgl. \textit{G. H. Hardy} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 8, 295--300 (1910; JFM 41.0278.01); 8, 301--320 (1910; JFM 41.0278.02)] und \textit{J. E. Littlewood} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 9, 434--448 (1911; JFM 42.0276.01)] und das vorstehende Referat [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 11, 1--16 (1912; JFM 43.0311.02)] (wo auch die meisten weiter unten benutzten Begriffe definiert sind). Der Ausgangspunkt aller dieser Untersuchungen ist der Abelsche Grenzwertsatz oder besser dessen Umkehrung von Tauber: Wenn \(\displaystyle\lim_{x=1}\sum a_n x^n\) existiert und \(\displaystyle\lim_{n=\infty }na_n=0\) ist, so ist \(\sum a_n\) konvergent. In der zweiten der genannten Arbeiten hatte Littlewood gezeigt, daß \(|\,na_n\,|<K\) statt \(\lim na_n=0\) anzunehmen genügt. Bei dem (ziemlich schwierigen) Beweise dieses Satzes war ein an sich interessanter Hülfssatz gebraucht worden: Hat \(f(x)\) für \(x > x_0\) stetige erste und zweite Ableitungen, und ist \(f(x)=s+o(1)\), \(f''(x) = O(1)\) für \(x\to+\infty \), so ist \(f' (x) = o(1)\). Im zweiten Kapitel der vorliegenden Arbeit (das erste enthält Einleitung und Überblick) wird dieser Satz nach den mannigfachsten Seiten verallgemeinert; z. B. ``Ist \(f(x)=O(\varphi)\), \(f''(x) = O(\psi)\), wo \(\varphi\) und \(\psi\) für \(x>x_0\) wachsende Funktionen sind, so ist \(f'(x) = O(\sqrt{\varphi\psi})\)''. Analog mit \(o\) an Stelle von \(O\) (beidemal oder nur einmal), ähnlich für höhere Ableitungen, und ähnlich für abnehmende Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) an Stelle zunehmender (Sätze 1 bis 9). Im dritten Kapitel werden die gewonnenen Resultate auf (gewöhnliche) Dirichletsche Reihen angewendet und so eine Anzahl von ``Cesàro-Tauberschen'' Sätzen e…
Mathematics Subject Classification ID: 40E05
zbMATH DE Number: 2625426
Wikidata QID: Q105752984
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-11.1.411
OpenAlex ID: W2023041729
DOI: 10.1112/PLMS/S2-11.1.411
description: scientific article; zbMATH DE number 2625426