Q1480262
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l'intégrale générale est uniforme et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes.
zbMATH Open document ID: 43.0382.01
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81315
review text: Nach den Untersuchungen von Painlevé und Gambier gilt der folgende fundamentale Satz: ``Wenn das allgemeine Integral einer Differentialgleichung \[ y''=R(y',y,x), \tag{1} \] wo \(R\) rational in \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, feste kritische Punkte besitzt, so reduziert es sich entweder auf eine Kombination klassischer Funktionen (die durch Quadraturen oder lineare Differentialgleichungen definiert sind), oder die Gleichung (1) läßt sich durch algebraische Transformationen auf einen von gewissen explizit angegebenen sechs Typen zurückführen.'' Der letzte, von \textit{K. Fuchs} [C. R. 141, 555--558 (1906; JFM 36.0397.02); Math. Ann. 63, 301--321 (1907; JFM 38.0362.01)] auf ganz anderem Wege gefundene Typus lautet: \[ \displaylines{\text{(VI)}\quad y''=\frac12\left(\frac1y+\frac1{y-1}+\frac1{y-x}\right){y'}^2\left(\frac1x+\frac1{x-1}-\frac1{x-y}\right)y'\hfill\cr\hfill {}+\frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2} \left[\alpha+\frac{\beta x}{y^2}+\frac{\gamma(x-1)}{(y-1)^2}+ \delta\frac{x(x-1)}{(y-x)^2}\right]} \] (\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) Konstanten); aus ihm gehen die fünf übrigen, wie \textit{P. Painlevé} später gezeigt hat [C. R. 143, 1111--1117 (1907; JFM 37.0341.04)], durch Degenereszenz hervor. Die Integrale dieser im strengen Sinne von Drach irreduktiblen Differentialgleichungen sind wesentlich neue Transzendenten. Es handelte sich nun zuerst darum, die von Painlevé im Falle der zweiten Ordnung befolgte Methode auf die Differentialgleichungen dritter Ordnung \[ y'''=R(y'',y',y,x), \tag{2} \] wo \(R\) rational in \(y''\), \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, auszudehnen. Diese Methode, auf die Gleichungen (2) angewendet, erfordert zunächst die Bestimmung aller Fälle, in denen das allgemeine Integral der Gleichung \[ y'''=\left(1-\frac1n\right)\frac{{y''}^2}{y'}+b(y,z)y''y'+c(y,z){y'}^3 \tag{3} \] eindeutig ist; in dieser Gleichung bedeutet \(n\) eine endliche oder unendliche, von \(0\) und \(-1\) verschiedene g…
Mathematics Subject Classification ID: 34-XX
zbMATH DE Number: 2625644
author: René Garnier
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W602391204
DOI: 10.24033/ASENS.644
label: Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l'intégrale générale est uniforme et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes.
description: scientific article; zbMATH DE number 2625644