Über Integralgleichungen mit positivem Kern.
Veranlaßt durch einen Satz von \textit{Perron} (Math. Ann. 64), hat \textit{Frobenius} eine Theorie der Matrizen mit lauter positiven Elementen entwickelt (Berl. Ber. 1908, 471-476; F. d. M. 39, 213 (JFM 39.0213.*) f., 1908). Der Verf. überträgt diese Theorie auf Integralgleichungen und beweist: Ist \textit{K(s,t)} überall stetig und positiv, so besitzt dieser Kern stets einen Eigenwert, der reell-positiv ist, einfach und kleiner als der Betrag irgend eines anderen Eigenwerts; die zugehörige Eigenfunktion ist im ganzen Intervall einerlei Zeichens. Von einigen weiteren Bemerkungen sei hervorgehoben: wenn \(K (s, t) > 0\), \(L (s, t) > 0\) und \(K (s,t)\geqq L(s, t)\) ist, so ist der kleinste Eigenwert von \(K\) größer oder gleich dem kleinsten Eigenwert von \(L\); ferner: wenn \(K (s,t)\geqq0\) ist, aber \(=0\) nur in einer Punktmenge vom Inhalt 0, so stört das die obigen Resultate nicht. Endlich: ist \(\varphi_1(s)\), \(\varphi_2(s)\),\dots ein normiertes, orthogonales Funktionensystem, und konvergiert die Reihe \(\sum a_n\varphi_n(s)\varphi_n(t)\) gleichmäßig gegen eine positive Funktion, so ist \(a_1>0\), \(\varphi_1(s)>0\), \(|a_n|<a_1\).
scientific article; zbMATH DE number 2625753