Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung).
type: Item
instance of: scholarly article
title: Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung).
zbMATH Open document ID: 43.0436.01
DOI: 10.1007/BF01456804
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158545
review text: Von der Überzeugung ausgehend, daß so allgemeine Methoden wie die Theorie der Integralgleichungen, wenn man sie auf die mathematische Physik anwendet, ihre eigentliche Kraft nicht in der Lösung konkreter Einzelprobleme entfalten können, sondern vor allem dazu dienen müssen, die einem großen Komplex von Erscheinungen gemeinsamen Züge ausfindig zu machen, hat sich der Verf. die Aufgabe gestellt, folgende These zu begründen: Schwingungsvorgänge, deren Gesetzmäßigkeit sich in einer linearen Differentialgleichung vom Typus der gewöhnlichen Schwingungsgleichung ausspricht, besitzen, unabhängig von der geometrischen Gestalt und physikalischen Beschaffenheit der Medien, in denen sie sich abspielen, im Gebiete der hohen Schwingungszahlen alle wesentlich ein und dasselbe Spektrum. Um ein präzises Beispiel zu geben: Die zu der Randbedingung \(u=0\) in einem beliebig gestalteten Raumstück \(J\) vom Volumen \(J\) gehörigen Eigenwerte \(\lambda=\lambda_n\) der Schwingungsgleichung \(\varDelta u+\lambda u=0\) erfüllen, der Größe nach geordnet, die Beziehung \(\lambda_n^3\thicksim\left(\dfrac{6\pi^2n}J\right)^2\) -- in dem Sinne, daß der Quotient der rechten und linken Seite mit unbegrenzt wachsendem \(n\) gegen 1 konvergiert. Außer der Randbedingung \(u = 0\) wird vor allem diejenige studiert, welche dem Problem der elektromagnetischen Schwingungen in einem Hohlraum entspricht; in diesem Falle handelt es sich übrigens nicht um ein skalares, sondern ein vektorielles Feld \(u\), die unbekannte Amplitude der elektrischen Feldstärke bei einer stehenden Schwingung. Es wird hier der entsprechende Satz bewiesen und damit ein Resultat gewonnen, das für die Begründung der modernen Strahlungstheorie von hoher Wichtigkeit ist. Der Fall eines inhomogenen Mediums (mathematisch gesprochen: der allgemeinen sich selbst adjungierten linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche den Spektrumsparameter \(\lambda\) linear enthält) wird gleichfalls erledigt. Die Grundlage der Untersuchung bil…
zbMATH DE Number: 2625773
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1970136394
author: Hermann Weyl
description: scientific article; zbMATH DE number 2625773