Sur les équations du calcul des variations.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les équations du calcul des variations.
zbMATH Open document ID: 43.0460.01
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81320
review text: Diese Arbeit bringt eine ausführlichere (wenn auch immer noch etwas knappe) Begründung der weitreichenden, vom Verf. schon früher in den C. R. veröffentlichten Resultate über die Existenz von Lösungen von Variationsproblemen (s. F. d. M. 41, 440 (JFM 41.0440.*), 1910). Zunächst wird eine Reihe von Sätzen über gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung bewiesen: Gilt für die rechte Seite von: \[ y'' = f(x,y,y') \tag{1} \] die Ungleichung \(|f(x,y,y')|< Ay'{}^2 + B\) (die Gleichung (1) wird dann als eine Gleichung \((L)\) bezeichnet), so ist für jede geschränkte Lösung von (1) auch die erste Ableitung \(y'\) geschränkt. Dies gilt nicht, wenn \(f\) in \(y'\) von höherer als zweiter Ordnung unendlich ist, und dann ist auch für (1) die Randwertaufgabe (eine Lösung durch zwei gegebene Punkte) nicht allgemein lösbar. Ist für eine Gleichung \((L)\): \(f_y'>k>0\), so ist die Randwertaufgabe immer eindeutig lösbar. Eine Gleichung \((L)\) heiße ``regulär'', wenn alle, zwei Punkte eines geschränkten Bereiches verbindenden Lösungen gleichmäßig geschränkt sind. Ist für eine reguläre Gleichung \((L)\) ein Punkt \(A\) und ein Gebiet \(\omega\) gegeben, so zerfällt \(\omega\) in eine endliche Anzahl durch Kurven getrennter Teilgebiete \(\omega_i\) derart, daß von \(A\) nach jedem Punkt von \(\omega_i\) gleichviele, und zwar eine ungerade Anzahl von Lösungen führen. -- Die \textit{Euler}sche Gleichung des regulären Variationsproblems \( \int F(x,y,y')\,dx\) \((F_{y'{}^2}^{\prime\prime}>0\)) ist eine Gleichung \((L)\), wenn \(F\) für große \(|y'|\) die Form hat: \(F=|y'|^\alpha(A(x,y)+\varepsilon)\) (\(\varepsilon\) geht gegen 0 wenn \(|y'|\) gegen \(\infty\) geht), vorausgesetzt, daß \(\alpha > 1\). Ist ferner \(F_y'\) nach unten geschränkt für \(y>0\), nach oben geschränkt für \(y<0\), so ist die \textit{Euler}sche Gleichung auch regulär, so daß der oben angeführte Satz angewandt werden kann. Ebenfalls ist die \textit{Euler}sche Gleichung eine reguläre Gleichung \((L)\), we…
zbMATH DE Number: 2625835
Wikidata QID: Q111291047
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2598377076
DOI: 10.24033/ASENS.651
author: Sergei Natanovich Bernstein
description: scientific article; zbMATH DE number 2625835