An invariantive investigation of irreducible binary modular fomrs.
type: Item
instance of: scholarly article
title: An invariantive investigation of irreducible binary modular fomrs.
zbMATH Open document ID: 42.0134.02
DOI: 10.2307/1988731
author: Leonard Eugene Dickson
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
review text: Ein Fundamentalsystem von Invarianten der Gruppe \(G\) aller binären linearen Transformationen \(S\) in einem Felde \(F\) endlicher Ordnung \(g\), vom Modul \(p\), besteht, wie gezeigt wird, aus zwei Invarianten; die eine ist das Produkt der verschiedenen Linearformen, die andere das Produkt der verschiedenen irreduzibeln quadratischen Formen. Das Produkt \(\pi_m\) der irreduzibeln Formen vom Grade \(m\) läßt sich dann durch die beiden Fundamentalinvarianten ausdrücken. Zwei Formen gehören derselben ``Klasse'' an, wenn eine von ihnen, bis auf ein konstantes Vielfaches, in die andere transformiert werden kann durch eine unimodulare \(S\). Es gibt ebenso viele Klassen irreduzibler binärer Formen vom Grade \(m\) wie irreduzible Faktoren von \(\pi_m\), wenn \(\pi_m\) als Funktion eines gewissen Paares von Invarianten ausgedrückt ist. Hierbei sind die Fälle \(p=2\) und \(p>2\) zu unterscheiden. Die Untersuchung wird für die Werte von \(m<8\) vollständig durchgeführt. Die Gruppe \(G\) beziehe sich zunächst auf \(m\) homogene Variabeln. Der ``Punkt'' \(P=(x_1,\dots,x_m)\) ist als gleichwertig mit \((\mu x_1,\dots,\mu x_m)\) anzusehen; er bleibt also ungeändert bei einer Ähnlichkeitstransformation (1) \(x_i^{'}=ax_i\). Ist \(\gamma\) die Anzahl der Transformationen (1) in \(G\) und \(\frac g\gamma=\omega(>1)\), so ist jeder Punkt gegenüber \(G\) einer von \(\leqq\omega\) verschiedenen ``konjugierten''. Im Falle \(<\omega\) heißt der Punkt ``speziell''; es gibt dann wenigstens eine Transformation außer (1), bei der er invariant bleibt. Bleibt \(P\) gegenüber \(T\) invariant, und wird \(P\) vermöge \(S\) durch \(P'\) ersetzt, so ist \(P'\) invariant gegenüber \(S^{-1}TS\). Im besonderen sei jetzt \(m=2\) und \(F\) das Feld \(GF[p^n]\) von der Ordnung \(p^n\), so daß\ die Ordnung \(g\) von \(G\) den Wert \(p^n(p^{2n}-1)\) hat. Zunächst betrachte man innerhalb \(G\) eine Transformation \(T\) mit irreduzibler charakteristischer Determinatente \(\varDelta(\varrho)\). Diese führt …
zbMATH DE Number: 2628858
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1988731
OpenAlex ID: W4241770763
description: scientific article; zbMATH DE number 2628858