A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem.
zbMATH Open document ID: 42.0136.01
DOI: 10.2307/1988736
author: Leonard Eugene Dickson
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
review text: Sei \(G_m\) die Gruppe der linearen homogenen Transformationen \(S\) der Determinante 1 von \(m\) Variabeln, mit Koeffizienten, die dem \textit{Galois}schen Felde der Ordnung \(p^n\) angehören, so soll für \(G_m\) ein Fundamentalsystem von \(m\) absolut invarianten Formen aufgestellt werden. Sodann handelt es sich um das ``Formenproblem'' der \(G_m\). Dieses verlangt, alle Wertreihen der \(m\) Variabeln zu finden, für die die \(m\) Invarianten vorgegebene Werte annehmen. Alle Reihen von Lösungen erweisen sich als lineare Kombinationen der Wurzeln einer Gleichung, in der nur die Potenzen \(p^{nm},p^{n(m-1)},\dots,p^n,1\) einer einzigen Variable auftreten. Diese Fundamentalgleichung hat ähnliche Eigenschaften, wie die einer linearen Differentialgleichung der Ordnung \(m\). Es werden die Grade der irreduzibeln Faktoren der Fundamentalgleichung bestimmt sowie das kleinste Feld, in dem die Gleichung vollständig lösbar wird. Die so entstehende Theorie geht erheblich hinaus über die der Gleichung \(\xi^{p^{nm}}-\xi=0\), die der Theorie der endlichen Felder zugrunde liegt. Bezeichnet man die Determinante \(|x^{p^{e_in}}|\,(i=1,\dots,m)\) mit \([e_1,\dots,e_m]\), so wird diese vermöge einer Transformation \(T\) von \(G_m\) bis auf den Faktor \(|T|\) reproduziert. Jede dieser Funktionen besitzt den invarianten Faktor (1) \(L_m=[m-1,m-2,\dots,0]\). Versteht man weiter unter den invarianten Größen \(Q_{ms}\) die Quotienten: \[ (2)\quad Q_{ms}=[m,m-1,\dots,s+1,s-1,\dots,1,0]/L_m, \] so gilt der grundlegende Satz (I). Die \(m\) Invarianten \(L_m,Q_{m1},\dots,Q_{m,m-1}\) sind voneinander unabhängig und bilden ein Fundamentalsystem von Invarianten für die Gruppe \(G_m\). Zunächst wird der ternäre Fall untersucht und durch wirkliche Ausrechnung gezeigt, daß\ jede ganze Invariante der \(G_3\) eine ganze Funktion der \(L_3,Q_{32},Q_{31}\) ist. Für den allgemeinen Fall werden die Quotienten \(Q\) einer geeigneten Determinantenumformung unterzogen, die zugleich gestattet, zwichen den \(…
zbMATH DE Number: 2628859
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1988736
OpenAlex ID: W4244722747
description: scientific article; zbMATH DE number 2628859