Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. (Erste Abh.).
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume. (Erste Abh.).
zbMATH Open document ID: 42.0144.02
DOI: 10.1007/BF01564500
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158499
review text: Im zwei- und dreidimensionalen Euklidischen Raume gibt es, wie man weiß, nur endlich viele Bewegungesgruppen mit endlichem Fundamentalbereich. \textit{Hilbert} (F. d. M. 31, 68, 1900) vermutete, daß\ diese Eigenschaft allgemein der Euklidischen Räumen \(R_n\) zukommt. Dem Beweise dieses grundlegenden Satzes ist die vorliegende Abhandlung gewidmet. Die Grundlage des Beweises besteht darin, daß, wie bei \(n=3\) nach \textit{Schoenflies} (F. d. M. 23, 554, 1891), zunächst die Existenz einer in der Gruppe vorkommenden Translationsuntergruppe von \(n\) linear unabhängigen Translationen festgestellt wird, und weiterhin die endlichen Gruppen orthogonaler Substitutionen verwendet werden. Als neues Moment kommt hinzu die Benutzung der endlichen Gruppen ganzzahliger linearer Substitutionen \(S\) und damit der Theorie der positiven quadratischen Formen. Hierdurch gelingt es, den Endlichkeitsbeweis zur\"cukszuführen auf einen Satz von \textit{Minkowski} (F. d. M. 37, 251, 1906), daß\ es nur endlich viele unimodulare \(S\) mit ganzrationalen Zahlenkoeffizienten gibt, die positive reduzierte Formen wieder in solche überführen. Der vorliegende erste Teil der Untersuchung behandelt die Bewegungsgruppen mit unendlichem Fundamentalbereicht; eine solche erweist sich als entweder homogen und endlich, oder aber als zerlegbar. Eine Bewegung (\S1) des Euklidischen \(R_n\) ist eine lineare Substitution, die das Quadrat \(ds^2\) des Linienelementes in sich überführt. Fehlen die freien Glieder, so reduziert sich die Substitution auf eine orthogonale \(A(a_{ik})\) mit der Determinante \(\varDelta_A=|a_{ik}|\) und der charakteristischen Gleichung \(D_A(\varrho)=0\). Je nachdem \(\varDelta_A=\pm1\) ist, liegt eine eigentliche oder aber uneigentliche Bewegung (Operation erster oder aber zweiter Art) vor. In \S 2 wird für \(\varDelta_A=+1,D_A(1)\neq0\) die \textit{Cayley}sche rationale Parameterdarstellung der \(A\) mittels einer schiefsymmetrischen Matrix abgeleitet. In \S 3 werden alle reellen …
zbMATH DE Number: 2628871
Wikidata QID: Q54237839
author: L. Prof. Bieberbach
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2628871