Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont líntégrale générale a ses points critiques fixes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont líntégrale générale a ses points critiques fixes.
zbMATH Open document ID: 42.0340.03
DOI: 10.1007/BF02393131
author: J. Chazy
published in: Acta Mathematica
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. hat sich in der vorliegenden Abhandlung die Aufgabe gestellt, im Anschluß an die Untersuchungen \textit{Painlevés} unter den Differentialgleichungen dritter und höherer Ordnung mit festen Verzweigungspunkten neue Gleichungen aufzusuchen. Den ersten Schritt zur Lösung dieses Problems für die Differentialgleichungen von der Form (1) \(y'''=R(y'',y',y',x)\) wo \(R\) rational in \(y'',y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, bildet nach dem Vorgange \textit{Painlevés} die Bestimmung der Gleichungen von der ``vereinfachten'' Form \(y'''=\left(1\frac1n\right)\frac{y''{}^2}{y'}+b(y)y'y''+c(y)y'{}^3\) mit eindeutigem allgemeinen Integral, wo \(n\) eine von \(-1\) verschiedene positive oder negative ganze Zahl oder \(\infty\) ist, während \(b(y)\) und \(c(y)\) zwei algebraische Funktionen von \(y\) sind. Für \(n=2,b(y)=0\) sind die eindeutigen Integrale automorphe Funktionen, oder sie lassen sich durch die klassischen Funktionen ausdrücken. Für \(n\neq-2\) hat \textit{Painlevé} ohne Beweis angegeben, daß das Geschlecht der algebraischen Funktionen \(b(y)\) und \(c(y)\) gleich 0 oder 1 ist, und daß die eindeutigen Integrale klassische Funktionen oder Kombinationen derselben sind. Verf. untersucht im 1. Abschnitt für den Fall, daß die Koeffizienten \(b(y)\) und \(c(y)\) rationale Funktionen sind, die Form der obigen Differentialgleichung und gibt die Natur ihrer Integrale an: Die Anzahl der Pole von \(b(y)\) und \(c(y)\) ist für \(n=1\) auf 6, für \(n\neq1\) auf 4 beschränkt (vgl. \textit{Garnier}, C. R. 145, 308, 1907; 147, 915, 1908, der auch den Fall erledigt hat, wo \(b(y)\) und \(c(y)\) algebraische Funktionen vom Geschlecht 1 sind). Im zweiten Abschnitt beschäftigt Verf. sich eingehend mit den Differentialgleichungen von der Form (2) \(y'''=P(y'',y',y,x)\) mit festen Verzweigungspunkten, wo \(P\) ein Polynom in \(y'',y',y\) ist, dessen Koeffizienten analytische Funktionen von \(x\) sind: Abgesehen von 4 Gleichungstypen, deren Untersuchung Verf. noch nic…
zbMATH DE Number: 2629661
MaRDI profile type: Publication
cites work: Analyse convexe et ses applications. Comptes rendus, janvier 1974
Wikidata QID: Q90403432
description: scientific article; zbMATH DE number 2629661