General theory of linear difference equations.
type: Item
instance of: scholarly article
title: General theory of linear difference equations.
zbMATH Open document ID: 42.0359.02
DOI: 10.2307/1988577
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
review text: Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist erstens, die Natur der Lösungen einer linearen Differenzengleichung mit rationalen Koeffizienten durch direkte Methoden zu untersuchen, und zweitens, zu zeigen, daß auch für lineare Differenzengleichungen eine \textit{Riemann}sche Theorie existiert; insbesondere ergibt sich, daß hier gewisse rationale Funktionen von \(e^{2\pi ix}\) dieselbe Rolle spielen wie die Konstanten der Monodromiegruppe einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung. Wegen der großen Einfachheit der Matrixbezeichnung betrachtet Verf. anstatt einer einzelnen Gleichung \(n\)-ter Ordnung ein System von \(n\) linearen Differenzengliechungen erster Ordnung \[ (1)\quad g_i(x+1)=\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)g_j(x)\quad (i=1,2,\dots,n). \] In diesen Gleichungen sind die Koeffizienten \(a_{ij}(x)\) rationale Funktionen von \(x\) mit einem Pol höchstens \(\mu\)-ter Ordnung in \(x=\infty\), also \[ (2)\quad a_{ij}(x)=a_{ij}x^\mu+a_{ij}^{(1)}x^{\mu1}+\cdots\quad (|x|>R); \] ferner wird -- cum grano salis -- vorausgesetzt, daß die \(n\) Wurzeln der ``charakteristischen Gleichung'' \[ (3)\quad |a_{ij}\delta_{ij}\varrho_j|=0\quad(i,j=1,2,\dots,n;\delta_{ij}=0, \text{ wenn }i\neq j; \delta_{ii}=1) \] voneinander und von Null verschieden sind. Wenn die \(n\) Funktionssysteme \(g_{11}(x),\dots,g_{n1}(x)\);\dots; \(g_{1n}(x),\dots,g_{nn}(x)\) \(n\) linear unabhängige Lösungen von (1) sind, so bildet das System der Elemente \(g_{ij}(x)\) eine ``Matrixlösung'' \(G(x)\). Das System der Elemente \(a_{ij}(x)\) bildet eine zweite Matrix \(A(x)\), und die \(n^2\) Gleichungen, denen die \(n\) Lösungen genügen, können in eine einzige Matrixgleichung \[ (4)\quad G(x+1)=A(x)G(x) \] zusammengefaßt werden; wird \(x\) durch \(x-1\) ersetzt, so kann diese folgendermaßen geschrieben werden: \[ (4)'\quad G(x-1)=A^{-1}(x-1)G(x). \] Die allgemeinste Matrixlösung von (4) lautet: \[ (5)\quad H(x)=G(x)P(x), \] wo \(G(x)\) eine Partikularlösung und \(P(x)\) eine beliebige Matrix periodischer Funktion…
Mathematics Subject Classification ID: 39A05
zbMATH DE Number: 2629700
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1988577
OpenAlex ID: W4243908375
author: George David Birkhoff
description: scientific article; zbMATH DE number 2629700