Properties of logarithmico-exponential functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Properties of logarithmico-exponential functions.
zbMATH Open document ID: 42.0437.02
author: G. H. Hardy
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://zenodo.org/record/2141321
review text: Diese Arbeit ist als eine Ergänzung des vom Verf. unter den Cambridge-Tracts veröffentlichten Büchleins ``Orders of infinity etc.'' aufzufassen (F. d. M. 41, 303, 1910). Die Funktionen, welche betrachtet werden (\(L\)-Funktionen oder Logarithmicoexponentialfunktionen), sind solche reellen eindeutigen Funktionen, welche erhalten werden können, wenn man eine endliche Anzahl von Malen rein algebraische Operationen, \(\lg (..)\) und \(e^{(..)}\), auf die Variable \(x\) und relle Konstanten anwendet. Die ``Ordnung'' einer Funktion beurteilt sich danach, wie oft notwendig zu ihrer Darstellung die beiden transzendenten Operationen benötigt werden. Jede \(L\)-Funktion ist von einem hinreichend hohen \(x\) Wert ab stetig, von konstantem Vorzeichen und monoton und konvergiert für \(x=\infty\) gegen \(0,\infty\) oder einen bestimmten Limes. Für zwei (monoton zunehmende) \(L\)-Funktionen \(f, \varphi\) trifft immer einer der drei Fälle zu: \(f\) wächst stärker als \(\varphi\) \(\left(\lim_{x=\infty} \frac{f}{\varphi}=\infty; f \succ \varphi \right)\), \(f\) wächst ebenso stark wie \(\varphi\) \(\left(\lim_{x=\infty}\frac{f}{\varphi}\quad \text{endlich und}\quad \neq 0 \right)\) oder \(f\) wächst schwächer als \(\varphi \left(\lim_{x=\infty}\frac{f}{\varphi}=0 \right)\); so daß\ man die \(L\)-Funktionen hinsichtlich der Art ihres Wachstums miteinander \textit{vergleichen} kann. Es werden jetzt Sätze von folgender Art bewiesen: Eine \(L\)-Funktion der \(n\)-ten Ordnung, welche \((l_{n-1} x)^{-\delta}\prec f \prec (l_{n-1} x)^\delta\) erfüllt, für jedes noch so kleine positive \(\delta\) (der untere Index \(n-1\) bezeichnet die \((n-1)\)-malige Wiederholung der Operation \(\lg = l\)), stimmt hinsichtlich ihres Verhaltens für \(x=\infty\) genau überein mit einer rationalen Potenz von \(l_n x\). Ferner wird in einer für alle \(L\)- Funktionen ohne Ausnahme gültigen und vollständigen Weise das Wachstum des Integrals einer solchen Funktion mit dem der Funktion selbst in Zusammenhang g…
zbMATH DE Number: 2629895
Wikidata QID: Q105752987
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2007202662
DOI: 10.1112/PLMS/S2-10.1.54
description: scientific article; zbMATH DE number 2629895