Über unendliche diskontinuierliche Gruppen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über unendliche diskontinuierliche Gruppen.
zbMATH Open document ID: 42.0508.03
DOI: 10.1007/BF01456932
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158521
review text: Behandelt werden nur solche Gruppen, die durch eine endliche Anzahl von Elementen, zwischen denen endlich viele Relationen bestehen, erzeugt werden können. In der Einleitung werden die \textit{drei Fundamentalprobleme} für solche Gruppen aufgestellt: es werden Methoden gesucht, um 1. zu entscheiden, ob irgend ein durch seine Zusammensetzung aus den Erzeugenden gegebenes Element der Identität gleich ist (Identitätsproblem); 2. zu entscheiden, ob \(S\) und \(T\) ineinander transformierbar sind (Transformationsproblem); 3. zu entscheiden, ob zwei solche Gruppen isomorph sind (Isomorphieproblem). Im 2. Kapitel werden diese Probleme erledigt für den Fall, daß\ in den sie definierenden Relationen zwischen den Erzeugenden jede Erzeugende höchstens zweimal vorkommt. Um dieses Ziel zu erreichen, werden im 1. Kapitel die Fundamentalgruppen der geschlossenen Flächen untersucht, aus denen, wie sich zeigen läßt, die obigen Gruppen zusammengesetzt werden können. Jeder Flächenkurve ist ein Element der Fundamentalgruppe zugeordnet, zwei mit Festhaltung eines Punktes stetig ineinander transformierbaren Kurven identische Elemente, zwei ineinander stetig transformierbaren Kurven zwei ineinander transformierbare Elemente. Wesentlich für die Untersuchung ist die Einführung der \textit{Gruppenbilder}, die in diesem Falle durch reguläre Polygonnetze der hyperbolischen Ebene darstellbar sind. Besonders einfach wird das Transformationsproblem in dem Falle der zweiseitigen Flächen vom Geschlecht 1 und der einseitigen Flächen mit der Zahl \(k=2\). Eine Lösung für den allgemeinen Fall wird geliefert durch die eingehendere Untersuchung der geometrischen Eigenschaften der betreffenden Polygonnetze. Von Wichtigkeit auch für allgemeinere Probleme sind die Betrachtungen über die topologischen Eigenschaften, die die allgemeinsten zu diesen Gruppen gehörenden Gruppenbilder besitzen. Im 3. Kapitel werden höhere Gruppen untersucht. Es ist leicht, zu zeigen, daß\ jede Gruppe in eine solche Form gebracht…
zbMATH DE Number: 2630047
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2079926883
Wikidata QID: Q54160393
author: Max Dehn
description: scientific article; zbMATH DE number 2630047