Beitrag zur Theorie der ganzen Funktionen.
Neben den beiden stets möglichen Darstellungen der ganzen Funktionen, nämlich ihrer \textit{Taylor}schen Reihe und ihrer \textit{Weierstraß}schen Produktentwicklung, spielt bei den elementaren ganzen Funktionen, den trigonometrischen und der Exponentialfunktion, eine dritte schon längst eine fast gleichberechtigte Rolle: die Darstellung durch eine ``verallgemeinerte Binomialkoeffizientenreihe'': \[ (1)\quad G(x)=e_0+e_1(x-a_0)+e_2\;\frac{(x-a)(x-a_1)}{a_1-a_0}+e_3 \,\frac{(x-a_0)(x-a_1)(x-a_2)}{(a_1-a_0)(a_2-a_0)}+\cdots. \] Der Verf. möchte die Reihen (1) allgemein in den Kreis der Betrachtungen ziehen, die der Theorie der ganzen Funktionen eigentümlich sind, und stellt daher die Frage: Welche Bedingungen muß die ganze Funktion \(G(x)\) erfüllen, damit bei gegebenen Interpolationsstellen \(a_0, a_1, \dots\), die die Gleichung (4) \(\lim_{\nu =\infty}| a_{\nu}|=\infty\) befriedigen, die Darstellung (1) für alle \(x\) konvergiert? Die Reihe (1) ist nichts anderes als die Ausdehnung der bei Polynomen mit der \textit{Lagrange}schen zusammenfallenden \textit{Newton}schen Interpolationsformel auf ganze transzendente Funktionen bei unendlich vielen Interpolationsstellen. Die obige Frage läßt sich also auch so fassen: Man soll die Klasse derjenigen ganzen Funktionen finden, für welche die \textit{Newton}sche Interpolationsformel mit den gegebenen sich im Unendlichen häufenden Interpolationsstellen \(a_0, a_1, \dots\) konvergiert. Als Hauptsatz ergibt sich in \S\,2: Die ganze Funktion \(G(x) =\sum^\infty_0 \nu c_{\nu} x^{\nu}\) kann immer durch die Formel (1) mit \(\varlimsup_{\nu =\infty} \root\nu\of{e_{\nu}} <1\) dargestellt werden, wenn \[ \varlimsup_{\nu =\infty} \root \nu\of{| a_1a_2 \dots a_{\nu -1}c_\nu|}< \frac 12 \] ist. Ist sogar diese Grenze \(= 0\), so ist auch \(\varlimsup_{\nu =\infty} \root{\nu}\of{| e_{\nu}|} = 0\). Sind aber \(a_1, a_2, \dots\) die von Null verschiedenen Nullstellen der ganzen Funktion \(\sum c_{\nu} x^{\nu}\), so ist \[ \varlimsup_{\nu =\infty} \root{\nu}\of{| a_1a_2 \dots a_{\nu -1}c_{\nu}|}\geqq \frac 12 \] und die Darstellung (1) von \(G (x)\) ist unmöglich. Mit der Angabe dieser ersten Ergebnisse der Untersuchung müssen wir uns hier begnügen. Der Verf. stellt seine Resultate am Schlusse des \S\,2 (S. 62-64) in einer Reihe von Sätzen zusammen. Im dritten Paragraphen wird die Anwendbarkeit dieser Resultate an einigen Beispielen gezeigt. Daran schließen sich Untersuchungen über eine weitere Darstellungsform der ganzen Funktionen an, nämlich \[ (5)\quad G(x)=\sum^\infty_0 \nu \left(\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta} \right)^{\nu},\;\text{wo}\;| \gamma|>0\;\text{ist.} \] Diese Reihen konvergieren in einer Halbebene und gewinnen dann erhöhtes Interesse, wenn man die Veränderliche \(x\) einer linearen Substitution unterwirft, durch die die wesentlich singuläre Stelle aus dem Unendlichen ins Endliche, etwa nach \(x = 1\) verlegt wird. Gleichzeitig werden die Konstanten \(\alpha ,\beta , \gamma , \delta\) so spezialisiert, daß die Reihe (5) in die gewöhnliche \textit{Taylor}sche Reihe einer Funktion \(F(x)\) mit der einen wesentlich singulären Stelle \(x= 1\) übergeht: \[ (6)\quad F(x)=\sum^\infty_0 \nu b_{\nu}x^{\nu}. \]
scientific article; zbMATH DE number 2633800