Beitrag zur Theorie der ganzen Funktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Beitrag zur Theorie der ganzen Funktionen.
zbMATH Open document ID: 41.0464.01
DOI: 10.1007/BF01457902
author: G. Faber
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1911-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158484
review text: Neben den beiden stets möglichen Darstellungen der ganzen Funktionen, nämlich ihrer \textit{Taylor}schen Reihe und ihrer \textit{Weierstraß}schen Produktentwicklung, spielt bei den elementaren ganzen Funktionen, den trigonometrischen und der Exponentialfunktion, eine dritte schon längst eine fast gleichberechtigte Rolle: die Darstellung durch eine ``verallgemeinerte Binomialkoeffizientenreihe'': \[ (1)\quad G(x)=e_0+e_1(x-a_0)+e_2\;\frac{(x-a)(x-a_1)}{a_1-a_0}+e_3 \,\frac{(x-a_0)(x-a_1)(x-a_2)}{(a_1-a_0)(a_2-a_0)}+\cdots. \] Der Verf. möchte die Reihen (1) allgemein in den Kreis der Betrachtungen ziehen, die der Theorie der ganzen Funktionen eigentümlich sind, und stellt daher die Frage: Welche Bedingungen muß die ganze Funktion \(G(x)\) erfüllen, damit bei gegebenen Interpolationsstellen \(a_0, a_1, \dots\), die die Gleichung (4) \(\lim_{\nu =\infty}| a_{\nu}|=\infty\) befriedigen, die Darstellung (1) für alle \(x\) konvergiert? Die Reihe (1) ist nichts anderes als die Ausdehnung der bei Polynomen mit der \textit{Lagrange}schen zusammenfallenden \textit{Newton}schen Interpolationsformel auf ganze transzendente Funktionen bei unendlich vielen Interpolationsstellen. Die obige Frage läßt sich also auch so fassen: Man soll die Klasse derjenigen ganzen Funktionen finden, für welche die \textit{Newton}sche Interpolationsformel mit den gegebenen sich im Unendlichen häufenden Interpolationsstellen \(a_0, a_1, \dots\) konvergiert. Als Hauptsatz ergibt sich in \S\,2: Die ganze Funktion \(G(x) =\sum^\infty_0 \nu c_{\nu} x^{\nu}\) kann immer durch die Formel (1) mit \(\varlimsup_{\nu =\infty} \root\nu\of{e_{\nu}} <1\) dargestellt werden, wenn \[ \varlimsup_{\nu =\infty} \root \nu\of{| a_1a_2 \dots a_{\nu -1}c_\nu|}< \frac 12 \] ist. Ist sogar diese Grenze \(= 0\), so ist auch \(\varlimsup_{\nu =\infty} \root{\nu}\of{| e_{\nu}|} = 0\). Sind aber \(a_1, a_2, \dots\) die von Null verschiedenen Nullstellen der ganzen Funktion \(\sum c_{\nu} x^{\nu}\), so ist \[ \varlimsup_{\nu =\i…
zbMATH DE Number: 2633800
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2633800