Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes. Deuxième édition, complétée.
Man vergleiche das Referat über den ersten Band des Werkes F. d. M. 29, 515, 1898, JFM 29.0515.03. An Stelle des ursprünglich beabsichtigten zweiten Bandes, der der Theorie der quadratischen Differentialformen gewidmet sein sollte, legt der Verf. eine erweiterte Neuausgabe in einem Bande vor, in der das durch \textit{Lamé}s Arbeiten eröffnete Forschungsgebiet eine dem gegenwärtigen Entwicklungsstadium entsprechende Behandlung findet. Im Mittelpunkte des ersten Buches steht die zuerst von \textit{Cayley} gefundene partielle Differentialgleichung dritter Ordnung, der die Funktion \(f(x,y,z)\) genügen muß, damit \(f=\text{const.}\) eine \textit{Lamé}sche Flächenschar darstellt. Der Verf. gewinnt sie durch Differentiation der Orthogonalitätsbedingungen mit Hülfe eines eleganten Eliminationsverfahrens in Gestalt einer verschwindenden Determinante. Nach Bestimmung derjenigen Orthogonalsysteme, die eine Schar von Ebenen oder von Kugeln enthalten, wird ein Typus von partikularen Integralen untersucht, auf den der Ansatz einer gewissen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung führt. Die zugehörigen \textit{Lamé}schen Scharen umfassen als speziellsten Fall die Parallelflächen, weisen eine charakteristische Eigenschaft ihrer orthogonalen Trajektorien auf und gestatten eine Erzeugung auf Grund infinitesimaler Transformationen. Es folgen Umformungen und geometrische Interpretationen der Differentialgleichung dritter Ordnung mit Anwendungen auf spezielle Probleme. Nach Ermittelung derjenigen \textit{Lamé}schen Scharen, die aus Flächen zweiten Grades mit gemeinsamen Symmetrieebenen bestehen, werden die bisherigen Methoden auf Orthogonalsysteme mit \(n\) Variabeln ausgedehnt. Die Benutzung der fünf homogenen pentasphärischen Koordinaten im dreidimensionalen Baume führt zur Bestimmung der Krümmungslinien einer ganzen Reihe von algebraischen Flächen. Gegenstand des zweiten Buches sind die orthogonalen Flächenscharen als Koordinatensysteme des Raumes. Die wertvollen Theorien \textit{Lamé}s, die hier entwickelt und unter Berücksichtigung der neueren Arbeiten zu einem gewissen Abschluß gebracht werden, stehen in engstem Zusammenhange mit der Integration der Differentialgleichung für das Potential und die stationäre Wärmeströmung. Die partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, denen die Koeffizienten des Linienelementes unter Zugrundelegung eines Orthogonalsystems genügen, werden für den allgemeinen Fall eines \(n\)-dimensionalen Baumes aufgestellt. Die Einführung neuer Hülfsgrößen ermöglicht ihre Ersetzung durch ein System von der ersten Ordnung. Für \(n=3\) gewinnt der Verf. eine in naher Beziehung zum \textit{Dupin}schen Satze stehende kinematische Deutung durch Anwendung seiner Methode des beweglichen Trieders auf das dreiparametriger Bewegungen fähige Normaldreikant. Die Definition der \textit{Lamé}schen Differentialparameter führt zur Untersuchung einer besonderen Gattung dreifacher Orthogonalscharen, der isothermen Systeme, bei denen sich Funktionen je eines der drei Parameter angeben lassen, die Integrale der Differentialgleichung \(\Delta V=0\) sind. Die einzelnen Flächen dieser Orthogonalsysteme werden, wie \textit{Bertrand} gezeigt hat, durch die Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt. Die isothermen Systeme \textit{Lamé}s bilden nur einen besonderen Fall solcher Orthogonalsysteme, die sich aus isothermischen Flächen zusammensetzen. Nach derartigen Systemen zu fragen, veranlaßt der Versuch, die schönste Entdeckung \textit{Lamé}s zu verallgemeinern, dem es gelang, die Wärmegleichung in elliptischen Koordinaten durch Produkte von Funktionen der einzelnen Parameter zu integrieren. Die dieses Problem erledigenden hochinteressanten Entwicklungen umfassen drei Kapitel. Am Schlusse des Buches werden in knapper Form die auf Grund einer Bemerkung \textit{Weingarten}s von \textit{Bianchi} entdeckten Orthogonalsysteme behandelt, die eine Schar von Flächen konstanter Krümmung enthalten. Bemerkenswert ist das Auftreten einer partiellen Differentialgleichung in dem \textit{Bianchi}schen Formelsystem, deren weittragende Bedeutung erst in dem neuen Teile des Werkes zutage tritt. Das dritte Buch bringt nach einem vorbereitenden Kapitel über Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, das von der \textit{Picard}schen Methode der sukzessiven Approximation Gebrauch macht, eine wichtige Verallgemeinerung der dreifachen Orthogonalscharen durch die Definition der Flächensysteme mit konjugierten Schnittlinien. Charakteristisch für diese ist die Existenz unendlich vieler Parallelsysteme, d. h. solcher dreifachen Flächenscharen, die ihnen Punkt für Punkt in der Weise entsprechen, daß die Tangentialebenen der Koordinatenflächen und damit auch die Tangenten der Koordinatenlinien parallel sind. Den Grad der Allgemeinheit dieser Parallelsysteme, die ebenfalls konjugierte Schnittlinien besitzen, kennzeichnet die Tatsache, daß zu einem gegebenen System ein einziges gehört, das drei durch einen Punkt gehende Kurven enthält, denen drei Schnittlinien des ersten durch Parallelität der Tangenten entsprechen. Noch ein zweiter Übergang zu neuen dreifachkonjugierten Systemen ist möglich. Die Tangententrieder sind dabei supplementär, d. h. die Kanten des einen stehen auf den Ebenen des anderen senkrecht, und umgekehrt. Für den Fall der Orthogonalsysteme, zu denen das vierte Kapitel zurückkehrt, fallen Parallelsysteme und supplementare Systeme zusammen. Der von \textit{Combescure} 1864 erkannte transformatorische Zusammenhang zwischen dreifachen Orthogonalscharen, bei denen entsprechende Flächen in den sphärischen Bildern der Krümmungslinien übereinstimmen, gestattet demnach eine zweifache Behandlung, indem sich einerseits die für Parallelsysteme, andererseits die für supplementare Systeme entwickelten Methoden anwenden lassen. Der zweite Weg führt zu einem rekurrierenden Verfahren zur Bildung neuer Orthogonalsysteme, das im wesentlichen mit einer von \textit{Ribaucour} angegebenen Transformation zusammenfällt. Im 6. und 7. Kapitel wird eine neue Methode zur Ermittelung dreifacher Orthogonalsysteme auseinandergesetzt, die auf eine Idee \textit{Ossian Bonnets} zurückgeht, zur Orientierung des Normalentrieders die drei \textit{Euler}schen Winkel zu benutzen. Durch Einführung gewisser imaginärer Variabeln leitet der Verf. aus den \textit{Bonnet}schen Formeln drei außerordentlich einfache partielle Differentialgleichungen erster Ordnung her, aus denen durch Elimination die Gleichung dritter Ordnung hervorgeht, die bereits in dem Formelsystem für die \textit{Bianchi}schen Orthogonalscharen auftrat, deren Integration also die allgemeinsten dreifach orthogonalen Systeme liefern würde. Das 8. und das 9. Kapitel bringen Untersuchungen über eine besondere Gattung von Orthogonalsystemen, ausgezeichnet durch die Möglichkeit rein translatorischer Bewegungen des Normalendreikants bei Verschiebung des Scheitels auf einer gewissen Schar von Kurven. Die ersten Mitteilungen über diese ``\(E\)-Systeme'' rühren vom Verf. her; eine eingehende Behandlung haben sie neuerdings durch \textit{Egorov} erfahren. Zu ihrer Bestimmung hat man das Linienelement der Kugel auf eine besondere Form zu bringen. Zu den \textit{Guichard}schen Systemen, denen das 10. Kapitel gewidmet ist, gelangt man, wenn man den Differentialgleichungen für die Bewegung des Dreikants gewisse Symmetriebedingungen auferlegt. Die dadurch ermöglichte Vertauschung der Indizes vermittelt zwischen je zwei Reihen derartiger Systeme. Von den Noten des Anhanges betrifft die erste die Verwendung des \textit{Abel}schen Theorems zur Ermittelung orthogonaler Systeme im \(n\)-dimensionalen Raume, die zweite und dritte die \textit{Dupin}sche Zyklide und die von Zykliden gebildeten \textit{Lamé}schen Scharen, die vierte schließlich eine besondere Klasse endlicher Deformationen (Transformationen des Raumes), bei denen die drei zu jedem Punkte gehörigen Hauptrichtungen die Flächennormalen eines Orthogonalsystems liefern.
scientific article; zbMATH DE number 2634657