Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Zweiter Band.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Zweiter Band.
zbMATH Open document ID: 40.0232.09
publication date: 1909-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx
review text: Das vorliegende Werk führt den Leser durch alle Gebiete der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Man könnte es schlechtweg ein Lehrbuch der analytischen Zahlentheorie nennen, wenn nicht das ``Primzahlproblem'' den Aufbau bedingt hätte und sich wie ein roter Faden durch alle Kapitel zöge. Methodisch gibt der Verf. seine eigenen, die früheren so ungemein vereinfachenden Theorien und Beweise und zeigt so dem Leser in harmonischer Weise die ganze Lehre bis zu seinen eigenen neuesten Entdeckungen. Vorausgesetzt wird bloß die Kenntnis der eindeutigen Zerlegbarkeit der ganzen rationalen Zahlen in Primteiler und der Elemente der Funktionentheorie einschließlich der \textit{Cauchy}schen Integralsätze. Über den Inhalt des Werkes schreibt der Verf. selbst am klarsten in seinem Vorwort: ``In einer langen Einleitung gebe ich eine ausführliche historische Übersicht über die wichtigsten Etappen der Entwicklung des Primzahlproblems und die präzise Formulierung der in der Folge zu beweisenden Hauptsätze. Übrigens bezieht sich diese Einleitung nur auf die zwei ersten Bücher; jedes der vier späteren Bücher enthält seine eigene historische Einleitung. Das \textit{erste Buch} beschäftigt sich vor allem damit, einen Satz zu beweisen und in seinen tiefsten Gründen zu beleuchten, welcher kurz als der ``Primzahlsatz'' bezeichnet wird und überhaupt als das wichtigste Theorem der Primzahltheorie anzusehen ist; derselbe besteht in der Gleichung: \[ \lim_{x=\infty}\;\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\lg x}}=1, \] wo \(\pi(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leq x\) und \(\lg x\) den natürlichen Logarithmus bezeichnet \dots Im \textit{ersten} Teil (dem Beginn des ersten Buches) zeige ich, wie weit man in dieser Richtung mit ganz elementaren Methoden gelangen kann; darunter verstehe ich solche, welche mit endlichen Summen operieren, und nehme natürlich keinen Anstand, zur Abschätzung endlicher Summen die Hülfsmittel der Integralrechnung zu benutzen. Im \textit{zweiten} Teil zeige ich die Tragweite der Ein…
Mathematics Subject Classification ID: 11-01
Mathematics Subject Classification ID: 11N05
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
Mathematics Subject Classification ID: 11A25
Mathematics Subject Classification ID: 11N37
zbMATH DE Number: 2636836
zbMATH Keywords: prime number theorem
zbMATH Keywords: Riemann zeta-function
zbMATH Keywords: arithmetic functions
MaRDI profile type: Publication
author: Edmund Landau
description: scientific article; zbMATH DE number 2636836