Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe.
zbMATH Open document ID: 40.0468.02
author: P. Koebe
published in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse
publication date: 1909-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/58731
review text: Es wird in dieser Abhandlung zum ersten Male der ``Nachweis geführt, daß es möglich ist, die irgendwie durch \(p\) nicht zerstückende Rückkehrschnitte in eine \(2 p\)-fach zusammenhängende Fläche verwandelte geschlossene \textit{Riemann}sche Fläche vom Geschlecht \(p\) umkehrbar eindeutig und konform auf einen schlichten Bereich mit linearer Ränderzuordnung abzubilden, eine Aufgabe, welche gleichbedeutend ist mit dem Problem, eine beliebig gegebene algebraische Funktion vom Geschlecht \(p\) durch automorphe Funktionen des \textit{Schottky}schen Typus zu uniformisieren im Sinne des von \textit{F. Klein} 1882 (Math. Ann. 19) aufgestellten Fundamentaltheorems. Damit ist dann zugleich auch zum ersten Male die vom Verf. im Jahresbericht 1906 (``über die konforme Abbildung usw.'') betrachtete klassische Abbildungsaufgabe erledigt, einen schlichten \((p+1)\)-\textit{fach zusammenhängenden Bereich auf einen von \(p+1\) Vollkreisen} begrenzten Bereich abzubilden. Zunächst handelt es sich um den Beweis des \textit{Unitätssatzes}, nämlich des Satzes, daß die erwähnte Abbildungs-, bzw. Uniformisierungsaufgabe, abgesehen von einer linearen Substitution, nicht mehr als \textit{eine} Lösung haben kann, nachdem die \(p\) Rückkehrschnitte gewählt sind. Dieser Nachweis gelingt wesentlich nach der vom Verf. im Jahresbericht 1906 entwickelten Methode, indem man den Satz beweist: die \textit{Summe der Quadrate der Umfänge} der bei Vervielfältigung eines Fundamentalbereichs des \textit{Schottky}schen Typus entsprechend den Substitutionen der Gruppe sich ergebenden Bildkurven der Begrenzungslinien des Fundamentalbereichs ist \textit{konvergent}. Nach dem Beweise des Unitätssatzes handelt es sich zweitens um den Existenzbeweis. Dieser läßt sich sowohl auf das vom Verf. in seiner dritten Mitteilung ``über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven'' entwickelte \textit{allgemeine Abbildungsprinzip} gründen, indem man dieses Prinzip auf die zur gesuchten Uniformisierungstranszendente…
zbMATH DE Number: 2637579
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description: scientific article; zbMATH DE number 2637579