Sur lar réduction des intégrales abéliennes et les fonctions fuchsiennes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur lar réduction des intégrales abéliennes et les fonctions fuchsiennes.
zbMATH Open document ID: 40.0486.03
DOI: 10.1007/BF03019653
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1909-01-01T00:00:00Z
review text: Die beiden ersten Paragraphen enthalten die wichtigsten Sätze über reduzierbare \textit{Abel}sche Integrale. Mit \(x,y\) seien die Koordinaten der Punkte einer algebraischen Kurve \(C\) vom Geschlecht \(p\), mit \(x',y'\) die der Punkte einer anderen \(C'\) vom Geschlecht \(q < p\) bezeichnet. Lassen sich dann \(x',y'\) rational durch \(x, y\) ausdrücken, sodaß jedem Punkte von \(C\) ein ganz bestimmter Punkt von \(C'\) zugeordnet ist, so sind \(q\) von den zu \(C\) gehörigen Integralen erster Gattung reduzibel; ihre \(2pq\) Periodizitätsmoduln \(\alpha_{ik} (i=1, 2,\dots,q; k=1,2,\dots,2n)\) lassen sich linear und ganzzahlig aus den \(2q^2\) Periodizitätsmoduln \(\beta_{ij}\) von \(q\) linearunabhängigen Integralen erster Gattung der Kurve \(C'\) zusammensetzen in der Form: \[ (1)\quad \alpha_{ik}=\sum_{j=1}^{2q} m_{kj}\beta_{ij}. \] Man wird dabei bemerken, daß aus dem bloßen Bestehen von Gleichungen der Form (1) noch nicht folgt, daß die \(\beta\) die Periodizitätsmoduln von \(q\) Integralen des Geschlechts \(q\) sind, und, wenn sie es sind, noch nicht, daß \(x',y'\) sich rational durch \(x,y\) darstellen lassen. Endlich sind nicht auch umgekehrt \(x,y\) rational durch \(x,y\) ausdrückbar; zu einem Punkte von \(C'\) gehören mehrere Punkte von \(C\); ihre Anzahl sei mit \(n\) bezeichnet. Zwischen den Periodizitätsmoduln irgend zweier der zu \(C\) gehörigen Integrale erster Gattung besteht eine bilineare Relation. Aus diesen bilinearen Relationen ergibt sich im Falle des Bestehens der Gleichungen (1) für \(q\) dieser Integrale, daß die Periodizitätsmoduln von \(p-q\) weiteren \(u'\) sich in der gleichen Weise linear mit ganzzahligen Koeffizienten \(n\) aus \(2(p-q)^2\) Größen zusammensetzen lassen. Der Wert der aus den \(m\) und \(n\) gebildeten Determinante \(2p\)-ten Grades ist eine Invariante I und stets einer Quadratzahl gleich. Die zu \(C\) gehörigen Thetafunktionen sind, als Funktionen der \(u'\) betrachtet, Thetafunktionen \(n\)-ter Ordnung. Einem Punkte \(M…
zbMATH DE Number: 2637643
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf03019653
OpenAlex ID: W2093037136
author: Henri Poincaré
description: scientific article; zbMATH DE number 2637643