Über einige Reihenentwicklungen, die nach Produkten von Kugelfunktionen fortschreiten.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über einige Reihenentwicklungen, die nach Produkten von Kugelfunktionen fortschreiten.
zbMATH Open document ID: 40.0501.01
author: Carl Neumann
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1909-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149302
review text: Die hier mitgeteilten neuen Formeln werden durch folgende Betrachtung gewonnen. Sind \(\varrho,\mu,\varphi\) die elliptischen Koordinaten eines Punktes (für verlängerte Rotationsellipsoide), seine rechtwinkligen Koordinaten also \[ x=\alpha\varrho\mu, y=a\sqrt{\varrho^2-1}\sqrt{1-\mu^2}\cos\varphi, z=a\sqrt{\varrho^2-1}\sqrt{1-\mu^2}\sin\varphi, \mu=\cos \vartheta, \] so gilt für die reziproke Entfernung des Punktes \(\varrho,\mu\varphi\) von dem Punkte \(\varrho_1,\mu_1,\varphi_1\), falls \(\mu_1=1\) und \(\varrho<\varrho_1\) ist, die Gleichung: \[ \frac{a}{E}=\frac{1}{\sqrt{-1+\varrho^2+\varrho_1^2+\mu^2-2\varrho\varrho_1\mu}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\;P_n(\varrho)P_n(\mu)Q_n(\varrho_1). \] Differenziert man diese Gleichung partiell nach \(x\), dann nach \(\varrho_1\) und beachtet, daß \[ Q_n^\prime(\varrho_1)=-\{(2n+3)Q_{n+1}+(2n+7)Q_{n+3}+(2n+11)Q_{n+5}+\cdots\} \] ist, so ergibt die Vergleichung der beiden durch Differentiation erhaltenen Reihen nach einigen Reduktionen folgendes Resultat: Setzt man \[ P_n(\varrho)P_n(\mu)=U_n, \] so ist für \(n>0\) \[ \text{(A)}\quad \begin{cases} \frac{n(n+1)}{2n+1} \frac{P_{n+1}(\varrho)P_{n-1}(\mu)P_{n-1}(\varrho)}{\varrho^2-\mu^2}\\ =(2n-1)U_{n-1}+(2n-5)U_{n-3}+(2n-9)U_{n-5}+\cdots\end{cases} \] (das letzte Glied der Reihe ist \(3\cdot U_1\) oder \(1\cdot U_0\)). Aus dieser Formel, die zunächst für \(\varrho>1\) und \(\mu<1\) abgeleitet ist, aber sofort auf beliebige Werte von \(\varrho\) und \(\mu\) ausgedehnt werden kann, ergeben sich weitere bemerkenswerte Resultate für \(\varrho=\mu\) und \(\varrho=1\); auch läßt sich aus ihr eine von \textit{Christoffel} gefundene Formel herleiten (s. J. für Math. 55, 1858). Die Entwicklung von \(a/E\) für den Fall \(\varrho>\varrho_1\) führt in ganz analoger Weise zu dem Resultat: Ist \[ V_n=Q_n(\varrho)P_n(\mu) \] so ist für \(n>0\) \[ (B)\quad\begin{cases} \frac{n(n+1)}{2n+1}\frac{Q_{n+1}(\varrho)P_{n-1}(\mu)-Q_{n-1}(\varrho)P_{n+1}(\mu)}{\varrho^2-\mu^2}\\ =-[(2n+3)V_{n+1}…
zbMATH DE Number: 2637660
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4237918609
DOI: 10.1515/CRLL.1909.135.157
description: scientific article; zbMATH DE number 2637660