Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation. Deuxième partie. Figures d'équilibre derivées des ellipsoides de \textit{Maclaurin.}(Mémoire présente à l'Academie Impériale des Sciences le 17/30 septembre 1908.)
In dem ersten Teile dieser Arbeit (F. d. M. 37, 718, 1906, JFM 37.0718.13) ist gezeigt worden, daß unter den Ellipsoiden von \textit{Maclaurin} und \textit{Jacobi} unendlich viele vorhanden sind, die durch eine unendlich kleine Deformation in gewisse nichtellipsoidische Gleichgewichtsgestalten umgewandelt werden können. Diese Ellipsoide, welche somit stetige Reihen neuer Gleichgewichtsgestalten eröffnen, werden durch die Auflösung gewisser transzendenter Gleichungen erhalten, denen die Verhältnisse ihrer Halbachsen genügen müssen. Bei der Betrachtung eines solchen Ellipsoids wurden seine Halbachsen durch \(\sqrt{\varrho+1}\), \(\sqrt{\varrho+q}\), \(\sqrt{\varrho}\) bezeichnet, und die Gleichgewichtsgestalten der zugehörigen Reihe wurden durch Gleichungen von der Form \[ x =\sqrt{\varrho+\xi+1}\cdot \sin \theta\cos\psi,\quad y=\sqrt{\varrho+\zeta+q}\cdot\sin\theta\sin\psi,\quad z=\sqrt{\varrho+\zeta}\cdot \theta \] dargestellt, wo \(\zeta\) eine Funktion der Variabeln \(\theta\), \(\psi\) und eines Parameters \(\alpha\) ist, dessen Werte verschiedenen Gestalten der Reihe entsprechen. Nach der damals getroffenen Wahl der Größe für \(\alpha\) kann dieser Parameter einen beliebigen reellen Wert haben, indem der Wert Null der ellipsoidischen Gestalt entspricht, sodaß für \(\alpha = 0\) die Funktion \(\zeta\) sich auf Null reduziert, wie auch \(\theta\) und \(\psi\) beschaffen sein mögen. Da zufolge der Wahl von \(\alpha\) der absolute Wert dieses Parameters hinreichend klein ist, läßt sich die Funktion \(\zeta\) nach den ganzen positiven Potenzen von \(\alpha\) entwickeln. Dies gibt das Mittel zur Berechnung dieser Funktion für kleine Werte von \(\alpha\) mit einer gewollten Annäherung. Aber es sind damals noch nicht die Rechnungen geprüft worden die auf diesem Wege entstehen. Unter Aufschiebung ihrer Zergliederung auf andere Teile der Arbeit wurde nur gezeigt, daß sie immer möglich sind. Andererseits sind auch noch nicht gewisse wichtige Fragen bezüglich der Winkelgeschwindigkeit, die einem gegebenen Werte von \(\alpha\) entspricht, beantwortet. Die Gleichung, aus der man diesen Wert als Funktion von \(\alpha\) gewinnen kann, war angegeben worden; aber die Erörterung beschränkte sich auf einige allgemeine Bemerkungen, und es wurde tatsächlich nicht klar, ob die Winkelgeschwindigkeit wirklich von \(\alpha\) abhängt. Statt dieser Winkelgeschwindigkeit selbst wurde eine gewisse, ihrem Quadrate proportionale Größe \(\beta\) betrachtet, und der Zuwachs von \(\beta\) bei dem Übergange von der ellipsoidischen Gestalt zu einer anderen Gleichgewichtsgestalt derselben Reihe wurde mit \(\eta\) bezeichnet. Es war daher \(\eta\) als Funktion von \(\alpha\) zu bestimmen, und wie gezeigt wurde, hängt das, da \(|\alpha|\) klein genug ist, von einer Gleichung von der Form ab: \[ A_2\alpha^2+A_3\alpha^3+\cdots+(B+S)\alpha\eta+ C_3\eta^3+C_4\eta^4+\cdots =0, \] wo \(A_2, A_3,\dots,B,C_3,C_4,\dots\) Zahlen sind, die nicht von \(\alpha\) und \(\eta\) abhängen, und \(S\) eine Funktion dieser Parameter ist, gleich Null für \(\alpha=\eta=0\) und darstellbar in der Gestalt einer Potenzreihe. \(B\) ist nie gleich Null. Unter dieser Bedingung läßt die obige Gleichung stets eine Lösung zu, in der \(\eta\) in der Form einer Potenzreihe von \(\alpha\) erscheint, und dies ist nach dem Früheren die einzige für das Problem geeignete Lösung; die anderen Lösungen entsprechen ellipsoidischen Gestalten. Wären alle \(A_i\) gleich Null, so würde die fragliche Lösung auf \(\eta =0\) zurückkommen, und man befände sich in dem Falle, daß alle Gleichgewichtsgestalten der betrachteten Reihe derselben Winkelgeschwindigkeit entsprechen wie das Ellipsoid, aus dem sie herstammen. Es stellt sich heraus, daß für die \textit{Maclaurin}schen Ellipsoide ein solcher Fall nie eintritt, und es ist kaum wahrscheinlich, daß er für die \textit{Jacobi}schen Ellipsoide vorkommt. Wenn nun aber unter den \(A_i\) einige nicht verschwindende vorhanden sind, so ist es wichtig, zu untersuchen, welches das erste nicht Null werdende Glied der Reihe \(A_2, A_3, A_4,\dots\). ist. Es werde mit \(A\) bezeichnet; von ihm hängt nämlich das Hauptglied des Ausdrucks für \(\eta\) ab. Wenn tatsächlich \(A = A_{\lambda+1}\) ist, so folgt \(\eta =- A\alpha^\lambda B +\cdots\), wo die folgenden Glieder von höherem Grade sind. Besonders ist es wichtig, zu erfahren, ob \(\lambda\) gerade oder ungerade ist; denn in dem ersten Falle kann \(\eta\), da \(|\alpha|\) hinlänglich klein ist, nur Werte von einem bestimmten Vorzeichen haben, nämlich von dem entgegengesetzten des Quotienten \(A/B\); in dem zweiten Falle ist das Vorzeichen von \(\eta\) beliebig. Dies sind die in der vorliegenden Arbeit für die \textit{Maclaurin}schen Ellipsoide mit einem großen Aufwande von Rechnung erledigten Fragen. Zunächst wird im ersten Teile (S. 7-79) die Erörterung unter Berücksichtigung der veränderlichen Winkelgeschwindigkeit durchgeführt, und zwar getrennt für Rotationsgestalten des Gleichgewichts und für andere Gestalten. Die Ergebnisse umfassen sechs Druckseiten, können also im Auszuge nicht dargestellt werden. Darauf folgt im kürzeren zweiten Teile (S. 79-91) die Untersuchung darüber, wie das Moment der Bewegungsgrößen sich ändert, wenn man von den Drehellipsoiden zu den nichtellipsoidischen Gestalten übergeht, eine für die Frage der Stabilität dieser Gleichgewichtsgestalten wichtige Aufgabe. Den breitesten Raum beansprucht der dritte Teil, die analytische Untersuchung der erforderlichen Rechnungen (S. 92-202). Er zerfällt in mehrere Unterabteilungen mit den Überschriften: 1. Besondere Rechnungsmethode bezüglich des Falles von Rotationsgestalten des Gleichgewichts. 2. Reduktionen, deren die Rechnungen in allen Fällen fähig sind. 3. Rechnungen in dem Falle der Rotationsgestalten. 4. Modifikation des Prinzips der Methode. 4. Rechnungen in dem Falle von Gleichgewichtsfiguren, die keine Rotationsgestalten sind. Die nächste Veröffentlichung soll die entsprechenden Untersuchungen für die aus den \textit{Jacobi}schen Ellipsoiden abzuleitenden Gleichgewichtsgestalten bringen.
scientific article; zbMATH DE number 2638685