Über binäre bilineare Formen.
Sind \(f, f'\) quadratische Formen von \(x_1, x_2, \varDelta\) und \(\varDelta'\) ihre Diskriminanten, \(\varTheta\) die harmonische Invariante, \(H\) die \textit{Hesse}sche Determinante, so läßt sich bekanntlich die Diskriminante von \(H\) durch \(\varDelta, \varDelta^\prime, \varTheta\) ausdrücken. Eine Ausdehnung hiervon auf binäre bilineare Formen hat der Verf. bereits früher gegeben (F. d. M. 23, 129, 1891, JFM 23.0129.01). Im Fall der binären quadratischen Formen sind ferner \(f, f^\prime, \varDelta, \varDelta^\prime, \varTheta, H\) durch eine Relation (Syzygie) verknüpft. Hier handelt es sich um eine Verallgemeinerung dieser Relation. Die beiden bilinearen Formen seien \(f(x, y) = \sum a_{ik} x_i y_k, f^\prime (x, y) = \sum {a_{ik}}^\prime x_i y_k\); ihre Determinanten \(\varDelta = R_{11} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}, \varDelta^\prime = R_{22} = {a_{11}}^\prime {a_{22}}^\prime - {a_{12}}^\prime {a_{21}}^\prime\) ihre bilineare Invariante \(\varTheta = R_{12} = R_{21} = a_{11} a_{22}^\prime - a_{12} a_{21}^\prime - a_{21} a_{12}^\prime + a_{22} a_{11}^\prime\), ihre beiden Funktionaldeterminanten nach \(y\), resp. \(x\): \(X = X_{11} x_1^2 + 2X_{12} x_1 x_2 + X_{22} {x_2}^2, Y = Y_{11} y_1^2 + 2Y_{12} y_1 y_2 + Y_{22} {y_2}^2\). Wird noch eine dritte bilineare Form \(f^{\prime \prime}(x, y)\) eingeführt, so sei \(R_{33}\) deren Determinante und \(R_{13} = R_{31}\) resp. \(R_{23} = R_{32}\). Für beliebige Parameter \(\varrho, \sigma, \tau\) wird die Determinante des Netzes \(\varrho f + \sigma f^\prime + \tau^{\prime \prime}\) gleich \(R_{11} \varrho^2 + R_{22} \sigma^2 + R_{33} \tau^2 + R_{23} \sigma \tau + R_{31} \tau \varrho + R_{12} \varrho \sigma\). Auf Grund hiervon und gewisser einfacher Identitäten ergibt sich die gewünschte Relation: \[ (1)\quad\quad XY = 4 \varDelta f^{\prime 2} - 4 \varTheta f^\prime f + 4 \varDelta^\prime f^2 = 0. \] Liegt jetzt eine binäre trilineare Form \(F(x, y, z) = z_1 f + z_2 f^\prime\) vor, und bildet man die drei Partialfunktionaldeterminanten \(X, Y, Z\), so stehen diese auf Grund von (1) in derartigem Zusammenhange, daß das identische Verschwinden irgend einer von ihnen zugleich das (wenigstens) einer der beiden andern nach sich zieht. Das Verschwinden der Invariante \(\varDelta\) ist die Bedingung dafür, daß \(f\) in lineare Faktoren zerfällt. Mithin ist das identische Verschwinden von \(Z\) die Bedingung dafür, daß \(f\) und \(f^\prime\) einen linearen Faktor gemein haben, d. h. daß \(F\) einen von den \(z\) freien linearen Faktor enthält. Das Zerfallen von \(F\) in drei lineare Faktoren wird durch das gleichzeitige Verschwinden von \(X, Y, Z\) ausgedrückt.
scientific article; zbMATH DE number 2640071