Über binäre bilineare Formen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über binäre bilineare Formen.
zbMATH Open document ID: 39.0161.02
DOI: 10.1007/BF01451171
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1908-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158363
review text: Sind \(f, f'\) quadratische Formen von \(x_1, x_2, \varDelta\) und \(\varDelta'\) ihre Diskriminanten, \(\varTheta\) die harmonische Invariante, \(H\) die \textit{Hesse}sche Determinante, so läßt sich bekanntlich die Diskriminante von \(H\) durch \(\varDelta, \varDelta^\prime, \varTheta\) ausdrücken. Eine Ausdehnung hiervon auf binäre bilineare Formen hat der Verf. bereits früher gegeben (F. d. M. 23, 129, 1891, JFM 23.0129.01). Im Fall der binären quadratischen Formen sind ferner \(f, f^\prime, \varDelta, \varDelta^\prime, \varTheta, H\) durch eine Relation (Syzygie) verknüpft. Hier handelt es sich um eine Verallgemeinerung dieser Relation. Die beiden bilinearen Formen seien \(f(x, y) = \sum a_{ik} x_i y_k, f^\prime (x, y) = \sum {a_{ik}}^\prime x_i y_k\); ihre Determinanten \(\varDelta = R_{11} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}, \varDelta^\prime = R_{22} = {a_{11}}^\prime {a_{22}}^\prime - {a_{12}}^\prime {a_{21}}^\prime\) ihre bilineare Invariante \(\varTheta = R_{12} = R_{21} = a_{11} a_{22}^\prime - a_{12} a_{21}^\prime - a_{21} a_{12}^\prime + a_{22} a_{11}^\prime\), ihre beiden Funktionaldeterminanten nach \(y\), resp. \(x\): \(X = X_{11} x_1^2 + 2X_{12} x_1 x_2 + X_{22} {x_2}^2, Y = Y_{11} y_1^2 + 2Y_{12} y_1 y_2 + Y_{22} {y_2}^2\). Wird noch eine dritte bilineare Form \(f^{\prime \prime}(x, y)\) eingeführt, so sei \(R_{33}\) deren Determinante und \(R_{13} = R_{31}\) resp. \(R_{23} = R_{32}\). Für beliebige Parameter \(\varrho, \sigma, \tau\) wird die Determinante des Netzes \(\varrho f + \sigma f^\prime + \tau^{\prime \prime}\) gleich \(R_{11} \varrho^2 + R_{22} \sigma^2 + R_{33} \tau^2 + R_{23} \sigma \tau + R_{31} \tau \varrho + R_{12} \varrho \sigma\). Auf Grund hiervon und gewisser einfacher Identitäten ergibt sich die gewünschte Relation: \[ (1)\quad\quad XY = 4 \varDelta f^{\prime 2} - 4 \varTheta f^\prime f + 4 \varDelta^\prime f^2 = 0. \] Liegt jetzt eine binäre trilineare Form \(F(x, y, z) = z_1 f + z_2 f^\prime\) vor, und bildet man die drei Partia…
zbMATH DE Number: 2640071
MaRDI profile type: Publication
author: Moritz Pasch
description: scientific article; zbMATH DE number 2640071