On the invariants of integrals.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the invariants of integrals.
zbMATH Open document ID: 39.0190.01
author: E. Goursat
published in: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 6. Série
publication date: 1908-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/234735
review text: In einer Reihe von Arbeiten vor allem in Bd. III seiner ``Mécanique céleste'' (Referat in Abschnitt \(\text{XII}_2\) dieses Bandes) hat \textit{H. Poincaré} die allgemeine Theorie der Integralinvarianten entwickelt. Hier wird folgende allgemeine Frage untersucht: Es liege ein System von Differentialgleichungen vor, von dem eine (absolute oder relative) Integralinvariante irgend einer Ordnung bekannt sei; welcher Vorteil läßt sich aus dieser Kenntnis für die Integration des Systems ziehen ? Das Hauptergebnis ist, daß sich aus jeder Integralinvariante wenigstens ein weiteres System von Differentialgleichungen herleiten läßt, dessen sämtliche Integrale das vorgelegte System befriedigen, derart, daß die Integration des abgeleiteten Systems ein einfacheres Problem darstellt. Sind im besonderen beide Systeme äquivalent, so läßt sich ein Multiplikator angeben. Im ersten Abschnitt werden die wesentlichsten, für das folgende in Betracht kommenden Resultate aus der Theorie der vielfachen Integrale zusammengestellt. Es seien \(x_i\) \((i = 1, 2,\dots, n)\) \(n\) unabhängige Variabeln und \(A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p}\) \((p \leqq n)\) ein System von Funktionen der \(x\), mit \(p\) verschiedenen, aus den Zahlen \(1, 2,\dots, n\) entnommenen Indizes. Dabei sollen solche der Funktionen, für die nicht alle Indizes übereinstimmen, völlig unabhängig sein, dagegen solche mit nur verschiedener Anordnung der Indizes gleich oder entgegengesetzt gleich sein, je nachdem die bezügliche Permutation eine gerade oder ungerade ist. Nimmt man dann an, daß die \(x\) ausgedrückt sind mittels \(p\) unabhängiger Variabeln \(u_k\) \((k = 1, 2,\dots, p)\), so dient als Grundlage das \(p\)-fache Integral: \[ \text{(I)}\quad\quad J_p = \iint \cdots \int \sum A_{\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_p}\;\frac {\partial x_{\alpha_1}} {\partial u_1}\;\frac {\partial x_{\alpha_2}} {\partial u_2} \cdots \frac {\partial x_{\alpha_p}} {\partial u_p}\;du_1 \dots du_p, \] erstreckt über ein gewisses Gebie…
zbMATH DE Number: 2640084
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description: scientific article; zbMATH DE number 2640084