Formulae concerning the minima of classes of positive binary quadratic forms.
Man nennt Minima einer positiven binären reduzierten quadratischen Form \((a,b,c)\) die Zahlen \[ a,c,a+c-2| b|. \] Es sind dies die drei kleinsten, durch die Form eigentlich darstellbaren Zahlen. Zwei der Zahlen sind immer ungerade, eine gerade. Der Verf. deckt Zusammenhänge dieser Minima aller Klassen einer Determinante mit folgenden zahlentheoretischen Funktionen auf: 1. \(\psi (n)---\) Anzahl der Teiler von \(n\) kleiner als \(\sqrt{n}\) (für \(n\) ein Quadrat: \(<\frac{1}{2}\sqrt{n}\)). 2. \(\chi(n)---\sum \delta( -1)^{\delta +\delta^1}\) summiert über alle möglichen Darstellungen \(n---\delta \delta_1, \delta <\delta_1\) (für \(n\) ein Quadrat werde \(\frac 12\sqrt{n}\) hinzugefügt). 3. \(\omega(n)---\sum d(-1)^{\frac{d+d_1}{2}}+1\), summiert über alle Darstellungen \(n---d\cdot d_1\), \(d<d_1\), wo \(d\) und \(d_1\) beide gerade oder beide ungerade seien (für \(n\) ein Quadrat werde \(\frac{1}{2} \sqrt{n} (-1)^{\sqrt{n}+1}\) hinzugefügt). Die Relationen lauten dann: \[ \sum m'\left(\frac{-1}{m'}\right)---2(- 1)^{N+1}\sum_{x^2<N}\omega(N-x^2), \] wo \(\left(\frac{- 1}{m'}\right)\) das \textit{Legendre}sche Symbol. Die Summe links wird über alle ungeraden Minima der Klassen der Determinante \(N\) genommen. \[ \begin{aligned} & \sum | m'-m|\left(\frac{-1}{m'}\right)---2(- 1)^{\frac{N(N-1)}{2}} \sum_{x^2<N}\chi (N-x^2),\\ & \sum | m'-m|\left(\frac{-1}{m'-m}\right)---2(-1)^{N+1} \sum_{x^2<N}(-1)^x\omega (N-x^2),\\ & \sum(m'+m)\left(\frac{-1}{m'}\right)-\sum | m'- m|\left(\frac{-1}{m'}\right)---(-1)^{\frac{N(N- 1)}{2}}\sum_{(2x+1)^2<4N}\psi (4N-(2x+1)^2).\end{aligned} \] Diese Formeln werden mit Hülfe der früher gefundenen Reihenentwicklungen der \( \varTheta\)-Funktionen der elliptischen Funktionen gefunden (siehe F. d. M. 38, 259, 1907, JFM 38.0259.01 u. JFM 38.0259.02). Zum Schlusse findet der Verf. durch Kombination der Resultate Beziehungen für die Funktion \(\psi\) allein.
scientific article; zbMATH DE number 2640418