On the theory of linear and nonlinear integral equations. I: Expansion of arbitrary functions by fixed function systems. II: Solution of the general linear integral equation
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the theory of linear and nonlinear integral equations. I: Expansion of arbitrary functions by fixed function systems. II: Solution of the general linear integral equation
zbMATH Open document ID: 38.0377.02
author: Erhard Schmidt
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1907-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158296
review text: Der erste Teil: ``Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener'' ist fast ganz ein Abdruck der Inaugural-Dissertation (1905) des Verfassers, über die in [JFM 36.0461.03], ausführlich berichtet worden ist. Hinzugekommen ist das vierte Kapitel, in dem folgendes Problem untersucht wird. Die Entwicklung von Funktionen zweier Veränderlicher nach Potenzen, nach trigonometrischen Funktionen, nach Kugelfunktionen usw. lassen sich in Gestalt von Reihen schreiben, welche nach Produkten einer Funktion der einen Veränderlichen mit einer Funktion der anderen Veränderlichen fortschreiten. Ist nun eine stetige Funktion von zwei Veränderlichen \(s\) und \(t\) gegeben, so wird man fragen, welches System von höchstens \(m\) Paaren einer stetigen Funktion von \(s\) und einer stetigen Funktion von \(t\) die Eigenschaft hat, daß\ die Summe ihrer Produkte die gegebene Funktion \(K(s,t)\) möglichst gut approximiert; als Maß\ der Approximation, dessen Minimum gesucht wird, wird wie üblich das Doppelintegral über das Fehlerquadrat genommen. Es zeigt Funktionen des unsymmetrischen Kernes \(K(s,t)\) gebildet wird. Für das Maß\ der besten Approximation ergibt sich der Ausdruck: \[ M_{m}=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}(K(s,t))^{2}\,ds\,dt-\sum_{\nu=1}^{m}\frac{1}{\lambda_{\nu}^{2}}, \] wo die \(\lambda_{\nu}\) die \(m\) ersten Eigenwerte des Kernes durchlaufen; wenn \(m\) ins Unendliche wächst, nähert sich \(M_{m}\) der Grenze Null. Hinzugefügt ist ferner der \(\S\) 13 des dritten Kapitels, in dem gezeigt wird daß\ sich jede unsymmetrische lineare Integralgleichung durch eine einfache Substitution auf eine symmetrische zurückführen läßt. Diese Reduktion ist sehr wichtig, weil man auf diese Art die bekannten Sätze über symmetrische Integralgleichungen auf unsymmetrische übertragen kann. Allerdings ist das ein indirektes Verfahren, und man wird wünschen, ohne diesen Umweg zum Ziel zu kommen. Wie sich dies ermöglichen läßt, zeigt Verf. in dem zweiten Teil seiner Abhandlung. Hier wi…
Mathematics Subject Classification ID: 45-02
Mathematics Subject Classification ID: 45A05
Mathematics Subject Classification ID: 45Gxx
zbMATH DE Number: 2644034
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W187411077
DOI: 10.1007/BF01449770
DOI: 10.1007/BF01449890
Wikidata QID: Q108179053
description: scientific article; zbMATH DE number 2644034