Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali.
zbMATH Open document ID: 38.0402.01
DOI: 10.1007/BF03015067
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1907-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich um die lineare partielle Differentialgleichung \[ F(z)\equiv\varLambda(z)+\sum_{i,k}^{}B_{ik}(x,y)\frac{\partial^{i+k}z}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=F(x,y) \quad \quad (i+k\leqq 2n-1),\tag{1} \] wo \[ \varLambda(z)=\sum_{l+m=2n}^{}a_{lm}(x,y)\;\frac{\partial^{2n}z}{\partial x^{l}y^{m}}\,. \] Die Koeffizienten sind in einem Bereiche \(C\) der Ebene \(x,y\) nebst ihren Ableitungen bis zu einer genügend hohen Ordnung endliche und stetige Funktionen; \[ G(u)\equiv\varLambda(u)+ \sum_{i,k}^{}b_{i,k}\;\frac{\partial^{i+k}u}{\partial x^{i}\partial y^{k}}=0\tag{2} \] ist die zu (1) adjungierte Gleichung. Wenn dann \(z\) und \(u\) nebst ihren Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung in einem im Innern von \(C\) gelegenen Gebiete \(\varGamma\) mit der Begrenzung \(\gamma\) endlich und stetig existieren, so hat man \[ \iint_{\varGamma}[uF(z)-zG(u)]dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx],\tag{3} \] wo \(M\) und \(N\) bilineare Ausdrücke in \(z,u\), nebst ihren Ableitungen bis zur \((2n-1)\)-ten Ordnung sind. Ist \(z\) Lösung von (1) und \(u\) Lösung von (2), so wird aus (3) \[ \iint_{\varGamma}uF(x,y)dx\,dy=\int_{\gamma}[M\,dy-N\,dx].\tag{4} \] Es wird nun vorausgesetzt, daß\ eine ``Grundlösung'' von (2) existiert, d. h. eine Funktion \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), die noch von einem Punkte \((x_{1},y_{1})\) abhängt, und die für \((x,y)\neq(x_{1},y_{1})\) endliche und stetige Ableitungen bis zur \(2n\)-ten Ordnung besitzt, während für \((x,y)\equiv(x_{1},y_{1})\) die Ableitungen \((2n-1)\)-ter Ordnung von erster Ordnung unendlich werden. Dann ergibt die Anwendung von (4) auf ein Gebiet \(C\)-\(\tau\), wo \(\tau\) ein kleiner \((x_{1},y_{1}\) ausschließ\ ender Kreis ist, wenn \(\tau\) gegen Null konvergiert: \[ z(x_{1},y_{1})=A(x_{1}, y_{1}) \left\{\int\int_{C}uF(c,y)dx\,dy+\int_{C}[Mdy-Ndx]\right\}.\tag{5} \] \(A\) ist dabei eine von \(u(x,y;x_{1},y_{1})\), aber nicht mehr von \(z\) abhängende Funktion. Im ersten Teil wird die Existenz der Fundamentallösung bewiesen. Im zwei…
zbMATH DE Number: 2644101
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q29039245
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf03015067
OpenAlex ID: W2022969654
author: Eugenio Elia Levi
description: scientific article; zbMATH DE number 2644101