Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme.
zbMATH Open document ID: 38.0459.02
DOI: 10.1007/BF03013518
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1907-01-01T00:00:00Z
review text: Die Lehre von den analytischen Funktionen einer Veränderlichen steht in engstem Zusammenhang mit der konformen Abbildung, und zwar handelt es sich dabei um zwei wesentlich verschiedene Probleme. \textit{Erstens} sei in der \(z\)-Ebene ein Kurvenbogen \(l\) und auf ihm ein Punkt \(m\) gegeben und ebenso in der \(Z\)-Ebene ein anderer Kurvenbogen \(L\) und auf ihm ein Punkt \(M\). Dann fragt es sich, ob man eine analyutische Funktion \(Z(z)\) so bestimmen kann, daß\ sie sich in der Nähe von \(m\) regulär verhält, daß\ dem Punkte \(M\) in der \(Z\)-Ebene der Punkt \(m\) in der \(z\)-Ebene entspricht, und daß\ \(Z\) den Kurvenbogen \(L\) beschreibt, wenn \(z\) den Kurvenbogen \(l\) durchläuft. Dieses ``lokale Problem'' hat bekanntlich unzählig viele Lösungen. Es sei \textit{zweitens} in der \(z\)-Ebene eine geschlossene Kurve \(l\) gegeben, die ein Gebiet \(D\) einschließt. Dann fragt es sich, ob man eine analytische Funktion \(Z(z)\) so bestimmen kann, daß\ sie sich in dem Gebiet \(d\) regulär verhält, und daß\ \(Z\) die Kurve \(L\) oder das Gebiet \(D\) durchläuft, wenn \(z\) die Kurve \(l\) oder das Gebiet \(d\) durchläuft. Dieses planare Problem (``problème étendu'') hat nach dem \textit{Dirichlet}schen Prinzip eine und nur eine Lösung. Bei analytischen Funktionen \(Z\) und \(Z'\) von zwei Veränderlichen \(z\) und \(z'\) gibt es zwei analoge Probleme. \textit{Erstens} sei in dem vierdimensionalen Raume der \(z,z'\) ein dreidimensionales ``Flächenstück'' \(s\) und auf ihm ein Punkt \(m\) gegeben, und ebenso in dem Raume der \(Z,Z'\) ein ``Flächenstück'' \(S\) und darauf der Punkt \(M\). Kann man die Funktionen \(Z\) und \(Z'\) von \(z\) und \(z'\) so bestimmen, daß\ sie sich in der Nähe des Punktes \(m\) regulär verhalten, daß\ die Punkte \(M\) und \(m\) einander entsprechen, und daß\ der Punkt \((Z,Z')\) das Flächenstück \(S\) beschreibt, wenn der Punkt \((z,z')\) das Flächenstuck \(s\) durchläuft? Das ist das lokale Problem. Ist \textit{zweitens} in dem Raume der \…
zbMATH DE Number: 2644228
MaRDI profile type: Publication
author: Henri Poincaré
description: scientific article; zbMATH DE number 2644228