Zur Transformation der Scharen bilinearer Formen von unendlich vielen Veränderlichen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Transformation der Scharen bilinearer Formen von unendlich vielen Veränderlichen.
zbMATH Open document ID: 38.0158.01
published in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse
publication date: 1907-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/58670
review text: \textit{Hilbert} (''F. d. M. 37, 351, 1906, siehe JFM 37.0351.03 u. JFM 37.0351.04'') hat gezeigt, daß\ sich eine Theorie der orthogonalen Transformation der reellen quadratischen Formen von abzählbar unendlich vielen Variabeln in einiger Analogie zur entsprechenden algebraischen Theorie der quadratischen Formen von endlich vielen Veränderlichen aufstellen läßt. Man wird daraufhin eine Übertragung der allgemeineren algebraischen Sätze über die Transformation bilinearer Formen mit komplexen Koeffizienten, der sogenannten Elementarteilertheorie, auf bilineare Formen von abzählbar unendlich vielen Veränderlichen versuchen. Bei der Schwierigkeit dieser Aufgabe beschränkt sich der Verf. auf eine gewisse spezielle Klasse solcher Formen. Eine bilineare Form \(A=\sum_{i,k=-\infty}^{+\infty}a_{ik}x_{i}y_{k}\) heiße ``beschränkt'', wenn sich eine positive Größe \(M\) angeben läßt, so daß\ \(\sum_{i,k=-\infty}^{+\infty}\left| a_{ik}\right| x_{i}y_{k}\) konvergiert und unter \(M\) liegt für alle positiven \(x_{i}\), \(y_{k}\), deren Quadratsummen \(\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x_{i}^{2}\), \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}y_{k}^{2}\) konvergieren und gleich 1 sind. Für die Gesamtheit der beschränkten Bilinearformen läßt sich der \textit{Cayley - Frobenius}sche Kalkül in Anwendung bringen. Eine Form \(A\) heiße abgeschlossen, wenn eine andere solche Form \(A^{-1}\) existiert, so daß\ \(AA^{-1}=A^{-1}A=E=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x_{i}y_{i}\) erfüllt ist. Zwei Bilinearformen \(A\), \(B\) von \(n\) Variabeln werden ähnlich genannt, wenn sie sich durch eine kontragrediente Transformation \(P\) der beiden Variabelnreihen ineinander überführen lassen, so daß\ also \(P^{-1}AP=B\) wird. Die Elementarteilertheorie zeigt, daß\ dies dann und nur dann eintritt, wenn die charakteristischen Funktionen \(\left| A-\lambda E\right|\), \(\left| B-\lambda E\right|\) in ihren Elementarteilern übereinstimmen. Die orthogonale Äquivalenz zweier reellen quadratischen Formen ordnet sich jenem Ähnlichkeitsprobl…
zbMATH DE Number: 2643349
author: Otto Toeplitz
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2643349