Diophantine approximations. An introduction to number theory
type: Item
instance of: scholarly article
title: Diophantine approximations. An introduction to number theory
zbMATH Open document ID: 38.0220.15
publication date: 1907-01-01T00:00:00Z
review text: Das vorliegende Buch bildet eine Einführung in die Zahlentheorie, wie sie in dem Minkowskischen Werke: ``Geometrie der Zahlen'' allgemein auseinandergesetzt ist. Es sind Vorlesungen, die der Verf. in Göttingen gehalten hat, und die elementaren Charakter aufweisen. Gleich das erste Kapitel führt uns aus dem einfachen Prinzip, daß \((n+1)\) Punkte nur so in \(n\) Intervallen liegen können, daß wenigstens einmal zwei Punkte in demselben Intervalle liegen, zu dem Minkowskischen Satze. Derselbe wird für drei ternäre lineare Formen bewiesen. Das zweite Kapitel knüpft an die geometrische Darstellung des Zahlengitters von zwei Dimensionen an. Mit Hülfe des Begriffes der Eichfigur wird zunächst ein erneuter Beweis des Minkowskischen Satzes für zwei binäre lineare Formen erbracht. Die Methode ist die, daß jedem Gitterpunkt als Mittelpunkte ein Parallelogramm oder allgemeiner eine konvexe Figur zugeordnet wird, die die Ebene nirgends doppelt überdeckt. Die Anwendung der so gewonnenen Sätze auf binäre Formen ergeben vor allem die sogenannten ``primitiven Lösungen'' derselben. Das dritte Kapitel dasselbe für das Zahlengitter von drei Dimensionen. Hier wird jedem Punkt ein Parallelepiped oder allgemein ein konvexer Körper zugeordnet, in dessen Mittelpunkt der Gitterpunkt liegt. Diese Körper dürfen den Raum nirgends zweimal überdecken. Auch diese Sätze werden auf die Äquivalenztheorie der ternären quadratischen Formen angewendet. Damit ist zunächst der geometrische Teil abgeschlossen. Das folgende bringt die Anwendung auf den Zahlkörper. Kap. IV führt so die Begriffe von algebraischer Zahl und ganzer Zahl ein. Die Auseinandersetzung des weitern beschränkt sich auf kubische und biquadratische Körper. Hierfür wird die Diskriminante definiert und die Existenz der Basis bewiesen. Von der Diskriminante liefert der Minkowskische Satz weitere Eigenschaften, z. B. daß ihr Wert größer als 1 ist. Die Theorie der Einheiten geht aus von den Einheitswurzeln, die als Einheiten von der Art defin…
Mathematics Subject Classification ID: 11-01
Mathematics Subject Classification ID: 11Jxx
Mathematics Subject Classification ID: 11R16
Mathematics Subject Classification ID: 11R27
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
zbMATH DE Number: 2643566
zbMATH Keywords: Diophantine approximations
zbMATH Keywords: algebraic numbers
zbMATH Keywords: cubic fields
zbMATH Keywords: biquadratic fields
MaRDI profile type: Publication
author: Hermann Minkowski
description: scientific article; zbMATH DE number 2643566