Séries trigonométriques et séries de \textit{Taylor}.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Séries trigonométriques et séries de \textit{Taylor}.
zbMATH Open document ID: 37.0283.01
DOI: 10.1007/BF02418579
author: P. Fatou
published in: Acta Mathematica
publication date: 1906-01-01T00:00:00Z
review text: Unter Benutzung des \textit{Lebesgue}schen Integralbegriffs und verwandter neuerer Methoden untersucht \textit{Fatou} im ersten Teile seiner Arbeit das \textit{Poisson}schen Integral \[ F(r,\theta )=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} \frac {1-r^2}{1-2r\cos (\theta -u)+r^2}f(u)du; \] es definiert eine im Innern des Einheitskreises reguläre harmonische Funktion und nimmt auf seinem Umfange im Punkte \(u_0\) den Wert \(f(u_0)\) an, wenn die periodische Funktion \(f(u)\) stetig ist; aber auch unter der alleinigen Voraussetzung, daß \(f(u)\) seinem absoluten Werte nach eine (im \textit{Lebesgue}schen Sinne) summierbare Funktion ist, behält das Integral einen Sinn und definiert eine harmonische Funktion. Ist eine Funktion \(f'(u)\), die gleich der Ableitung einer stetigen Funktion \(f(u)\) von der Periode \(2\pi\) ist, gegeben, so ist es möglich, eine im Innern eines Kreises reguläre harmonische Funktion zu bestimmen, die den folgenden Bedingungen genügt: 1. In jedem Punkte \(u_0\) des Umfangs, für den \(f'(u_0)\) einen bestimmten endlichen oder unendlichen Wert hat, nimmt die harmonische Funktion den Wert \(f'(u_0)\) an, wenn man sich diesem Punkte längs des Radius nähert. 2. In jedem Punkte \(u_0\), in dem \(f'(u)\) endlich und stetig ist, nimmt die harmonische Funktion den Wert \(f'(u_0)\) an, auf welchem Wege man sich auch \(u_0\) nähern mag. Dafür, daß \[ \varPhi (r,\theta )=-\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\frac {2r\sin (u-\theta)}{1+r^2-2r\cos (u-\theta )}f(u)du \] eine Grenze für \(r=1\) habe, ist die notwendige und hinreichende Bedingung die Existenz einer Grenze für das Integral \[ \int_{\varepsilon}^{+\pi}[f(\theta +t)-f(\theta -t)]\,\text{cotang}\frac t2 \,dt, \] wenn \(\varepsilon\) durch positive Werte gegen Null konvergiert. Das gleichmäßige Konvergieren dieses Integrals gegen seine Grenze ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das gleichmäßige Konvergieren von \(\varPhi (r,\theta )\) gegen seine Grenze. (\(\varPhi (r,\theta )\) ist der imaginäre Bes…
zbMATH DE Number: 2647014
Wikidata QID: Q56386076
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02418579
OpenAlex ID: W2034600980
description: scientific article; zbMATH DE number 2647014