Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie.
zbMATH Open document ID: 37.0343.02
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1906-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149249
review text: Die vorliegende Abhandlung enthält die Untersuchung einer bereits von \textit{Lindstedt} (``Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie'', Petersburg 1883, S. 17; F. d. M. 15, 983, JFM 15.0983.02) und \textit{Poincaré} (``Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste'', Paris 1893, 283 ff.) behandelten Differentialgleichung aus der Mechenik des Himmels mit Hülfe von Sätzen die Verf. in seiner Dissertation (Dorpat 1893) abgeleitet hat. Die Differentialgleichung lautet \[ (1)\quad\frac {d^2x}{dt^2}+xf(t)=\varphi (t); \] darin sind \(f(t)\) und \(\varphi (t)\) ``im weiteren Sinne periodische Funktionen mit den Perioden \(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\)'' (vgl. \textit{Esclangon}, C. R. 135 u. 137, ``Les fonctions quasi-périodiques,'' Ann. de l'observatoire de Bordeaux 1904), d. h. durch eine für alle \(t\) gleichmäßig konvergente Reihe \(u_1+u_2+u_3+\dotsm\) darstellbar, wobei die \(u\)-Glieder ganze rationale Funktionen von \(\cos\frac {2\pi t}{\alpha_{\mu}}\), \(\sin\frac {2\pi t}{\alpha_{\mu}}\) (\(\mu =1,2,\dots ,m;\,\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\) von Null veschiedene Konstanten) sind. Ferner wird vorausgesetzt, daß jede Lösung der Gleichung (1) zwischen endlichen Grenzen liegt. Die allgemeine Lösung der Gleichung (1) kann dann in der Form \[ (2)\quad x=c_1\frac {\cos\int_0^tRdt}{\sqrt R}+c_2\frac {\sin\int_0^tRdt}{\sqrt R}+T \] dargestellt werden; hierhin bedeuten \(c_1,c_2\) willkürliche Konstanten, \(T\) und \(R\) im weiteren Sinne periodische Funktionen mit den Perioden \(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\); dieselben besitzen Ableitungen erster und zweiter Ordnung, welche ebenfalls im weiteren Sinne periodisch mit den genannten Perioden sind. \(R\) ist für alle \(t\) gleich oder größer als eine positive Konstante; alle vorkommenden Größen sind reell, alle Quadratwurzeln ``nicht negativ'' zu nehmen. Die allgemeine Lösung kann kürzer in der Form \[ (3)\quad x=T+C\frac {\cos\int_c^tRdt}{\sqrt R} \] dargestellt werden, wobei \…
zbMATH DE Number: 2647176
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4240218000
DOI: 10.1515/CRLL.1906.131.268
author: Piers Bohl
description: scientific article; zbMATH DE number 2647176