Theorie der linearen Iteralgleichung mit konstanten Koeffizienten.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Theorie der linearen Iteralgleichung mit konstanten Koeffizienten.
zbMATH Open document ID: 37.0349.01
DOI: 10.1007/BF01449979
author: O. Spiess
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1906-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158255
review text: Verf. unterscheidet \textit{litterale} und \textit{funktionale} Substitutionen: Sind \(\Re (\xi -\alpha )\) und \({\mathfrak S}(\eta -\beta )\) die Elemente zweier analytischen Fuktionen \(f(\xi )\) und \(g(\eta )\), und wird das Substitutionsprodukt \(g(f(\xi ))\) für die Umgebung des Punktes \(\alpha\) gebildet, indem man die Reihe \(\Re\) buchstäblich in die Reihe \({\mathfrak S}\) an Stelle von \(\eta\) einsetzt und die einzelnen Glieder nach Potenzen von \(\xi -\alpha\) entwickelt, so heißt (vorausgesetzt, daß die neue Reihe konvergiert) die Substitution \textit{litteral}; wird dagegen die Reihe \(\Re\) nicht in \({\mathfrak S}\) selbst, sondern in eine aus \({\mathfrak S}\) durch analytische Fortsetzung abgeleitete Reihe eingesetzt, so heißt die Substitution \textit{funktional}: dieselbe ist allgemeiner als die litterale und im allgemeinen eine vieldeutige Operation. Für \(g=f\) wird aus der Substitution die Iteration. Für Reihen von der Form \[ R(\xi -\alpha )=\alpha +a_1(\xi -\alpha )+a_2(\xi -\alpha )^2+\dotsm \] ist bei der litteralen Iteration der Mittelpunkt des Konvergenzkreises ein Fixpunkt und daher ihre unbeschränke Iterierbarkeit von vornherein garantiert; sie heißen \textit{Hauptreihen}. -- Verf. betrachtet nun lineare Iteralgleichungen mit konstanten Koeffizienten \[ (1)\quad f_{(n)}(\xi )+a_1f_{(n-1)}(\xi )+\dotsm +a_{n-1}f(\xi )+a_n\xi =0, \] worin \(f_{(k)}(\xi )\) das \(k\)-te ``Iterat'' von \(f(\xi )\) bedeutet (\(\xi\) ist das 0-te, \(f(\xi )\) das 1-te Iterat); dieselben lassen sich bekanntlich durch eine Substitution \(\varphi (x+1)=f(\varphi (x))\) in eine lineare Differenzengleichung transformieren; doch bleibt wegen der bisher unüberwundenen Schwierigkeit des Existenzbeweises von \(\varphi (x)\) die Frage offen, ob man so \textit{alle} Lösungen von (1) erhält. Die Gleichung \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dotsm +a_{n-1}x+a_n\) heißt die \textit{Grundgleichung} des Problems. Man hat nun nach obigem zwischen der funktionalen und der litteralen Lös…
zbMATH DE Number: 2647193
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2026026702
description: scientific article; zbMATH DE number 2647193