Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Fünfte Mitteilung.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Fünfte Mitteilung.
zbMATH Open document ID: 37.0351.04
published in: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse
publication date: 1906-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/58655
review text: In der Einleitung zu seiner ersten Mitteilung (''F. d. M. 35, 378, 1904, sieheJFM 35.0378.02 u. JFM 35.0378.03'') hatte \textit{Hilbert} die Veröffentlichung einer neuen Methode zur Behandlung der linearen Integralgleichungen in Aussicht gestellt, die auf einer Theorie der Formen von unendlich vielen Variabeln beruht. Jetzt gibt er in der vierten Mitteilung eine ausührliche Darstellung der angekündigten Theorie und zeigt in der fünften, wie man auf dieser Grundlage die früher abgeleiteten Sätze über die Lösung von Integralgleichungen erster und zweiter Art und über die damit zusammenhängenden Entwicklungen willkürlicher Funktionen in unendliche Reihen nach \textit{Fourier}scher Art nicht nur sehr einfach beweisen, sondern auch in wesentlichen Punkten verallgemeinern kann. Aber die neue Methode leistet noch mehr; denn es gelingt mit ihrer Hülfe, jene Sätze auf gewisse neue Integralgleichungen ``dritter Art'' zu übertragen. Weitere Anwendungen werden auf spätere Mitteilungen verschoben. Damit \textit{Hilberts} Theorie der ``Formen von unendlich vielen Variabeln'' verständlich wird, müssen zunächst einige Bezeichnungen erklärt werden. Sind \(l_1,l_2,\dots\) beliebig gegebene reelle Konstanten, so heißt die über alle ganzen Zahlen \(p\) erstreckte Summe \[ L(x)=\sum_{(p)}l_px_p \] eine ``lineare Form'' der unendlich vielen Variabeln \(x_1,x_2,\dots\) oder kurz der Variabeln \((x)\). Läßt man aber den Index \(p\) nur die Werte \(1,2,\dots ,n\) durchlaufen, so erhält man den ``Abschnitt'' \(L_n (x)\) der linearen Form \(L(x)\). Sind ferner \[ k_{pq}=k_{qp}\quad (p,q=1,2,\dots ) \] beliebig gegebene Konstanten, so heißt die über alle Wertsysteme \(p,q\) ausgedehnte Summe \[ K(x)=\sum_{(p,q)}k_{pq}x_px_q \] eine ``quadratische Form'' der unendlich vielen Variabeln \((x)\); ihr ist die ``bilineare Form'' der Variabeln \((x)\) und \((y)\): \[ K(x,y)=\sum_{(p,q)}k_{pq}x_py_q \] zugeordnet. Zur Abkürzung möge noch \[ \sum_{(p)}x_p^2=(x,x),\quad \sum_{(p)}x_py_p=(x,y) \] gesetzt…
zbMATH DE Number: 2647197
MaRDI profile type: Publication
author: David Hilbert
description: scientific article; zbMATH DE number 2647197