Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes.
zbMATH Open document ID: 37.0422.02
DOI: 10.1007/BF02418571
author: J. L. W. V. Jensen
published in: Acta Mathematica
publication date: 1906-01-01T00:00:00Z
review text: Die Funktion \(\varphi (x)\) der reellen Variable \(x\) wird konvex genannt, wenn sie reell, eindeutig und endlich ist und der Ungleichung \[ \varphi (x)+\varphi (y)\geq 2\varphi \left(\frac {x+y}2\right) \] in einem gewissen Intervall genügt. Ähnlich werden konkave und lineare Funktionen definiert. Die Funktion \(x^p\) ist z. B. für reelle \(p\) im allgemeinen konvex; sie ist konkav nur für \(0<p<1\) und linear für \(p=1\). Die zu \(n\) Werten des Arguments gehörigen Werte einer konvexen Funktion besitzen ein arithmetisches Mittel, das dem Werte mindestens gleichkommt, den die Funktion für das arithmetische Mittel der Argumentwerte annimmt. Daraus ergeben sich zwei wichtige Folgerungen: 1. Besitzt eine konvexe Funktion eine obere Grenze, so ist sie stetig und hat in jedem Punkte ihres Geltungsbereiches einen vorwärts und einen rückwärts genommenen Differentialquotienten. 2. Es ergibt sich in überraschend einfacher Weise die Hauptungleichung (5) der Arbeit: \[ \varphi\left(\frac {\sum_{n=1}^{\infty}a_nx_n}{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}\right) \leq\frac {\sum_{n=1}^{\infty}a_n\varphi (x_n)}{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}\quad (a_n>0), \] die, wie Verf. am Schluß angibt, zwar nicht neu, aber in ihrer Bedeutung bisher unterschätzt worden ist. Denn Ungleichungen von \textit{Cauchy}, \textit{Simon}, \textit{Schlömilch}, \textit{Bienaymé}, \textit{Rogers} u. a. erscheinen als ganz spezielleFälle allgemeinerer, aus (5) abgeleiteter Beziehungen. Der naheliegende Übergang von (5) zu einer Relation zwischen bestimmten Integralen ist neu. Erwähnt seien noch Sätze über konvexe Funktionen konvexer Funktionen usw., das Beispiel einer stetigen Funktion, die in einer (beliebig gegebenen) abzählbaren Menge von Punkten verschiedene, sonst aber überall gleiche vorwärts und rückwärts genommene Ableitungen besitzt, und schließlich eine Verallgemeinerung der Definition für konvexe Funktionen mehrerer Variabeln.
zbMATH DE Number: 2647320
Wikidata QID: Q54185551
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description: scientific article; zbMATH DE number 2647320